Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác . Tìm gt nhỏ nhất
P = \(\dfrac{4a}{b+c-a}\)+ \(\dfrac{9b}{a+c-b}\)+ \(\dfrac{16c}{a+b-c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 9 2017
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\)\(\left(x,y,z>0\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2c\\y+z=2a\\x+z=2b\end{matrix}\right.\)
Thì ta có: \(\dfrac{2\left(y+z\right)}{x}+\dfrac{9\left(x+z\right)}{2y}+\dfrac{8\left(x+y\right)}{z}\ge26\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\dfrac{2\left(y+z\right)}{x}+\dfrac{9\left(x+z\right)}{2y}+\dfrac{8\left(x+y\right)}{z}\)
\(=\dfrac{2y}{x}+\dfrac{2z}{x}+\dfrac{9x}{2y}+\dfrac{9z}{2y}+\dfrac{8x}{z}+\dfrac{8y}{z}\)
\(=\left(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{9x}{2y}\right)+\left(\dfrac{2z}{x}+\dfrac{8x}{z}\right)+\left(\dfrac{9z}{2y}+\dfrac{8y}{z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{2y}{x}\cdot\dfrac{9x}{2y}}+2\sqrt{\dfrac{2z}{x}\cdot\dfrac{8x}{z}}+2\sqrt{\dfrac{9z}{2y}\cdot\dfrac{8y}{z}}\)
\(\ge6+8+12=26=VP\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 7 2019
Lời giải:
Gọi biểu thức đã cho là $P$. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P+\frac{29}{2}=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{9}{2}+\frac{16c}{a+b-c}+8\)
\(=\frac{2(a+b+c)}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}(a+b+c)}{c+a-b}+\frac{8(a+b+c)}{a+b-c}\)
\(=(a+b+c)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}}{c+a-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{8})^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}=\frac{81}{2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{81}{2}-\frac{29}{2}=26\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 2 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
\(P+\frac{29}{2}=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{9}{2}+\frac{16c}{a+b-c}+8\)
\(=\frac{2(a+b+c)}{b+c-a}+\frac{9(a+b+c)}{2(a+c-b)}+\frac{8(a+b+c)}{a+b-c}\)
\(=2(a+b+c)\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{4}}{a+c-b}+\frac{4}{a+b-c}\right)\)
\(\geq 2(a+b+c).\frac{(1+\frac{3}{2}+2)^2}{b+c-a+a+c-b+a+b-c}=\frac{81}{2}.(a+b+c).\frac{1}{a+b+c}=\frac{81}{2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{81}{2}-\frac{29}{2}=26\)
Vậy \(P_{\min}=26\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 11 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
\(\Rightarrow A+\frac{29}{2}=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{9}{2}+\frac{16c}{a+b-c}+8\)
\(A+\frac{29}{2}=\frac{2(a+b+c)}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}(a+b+c)}{a+c-b}+\frac{8(a+b+c)}{a+b-c}\)
\(A+\frac{29}{2}=(a+b+c)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}}{a+c-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{8})^2}{b+c-a+a+c-b+a+b-c}=\frac{81}{2}\)
(Áp dụng BĐT S.Vac -xơ)
\(\Rightarrow A\geq 26\)
Vậy \(A_{\min}=26\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 11 2018
Xem thêm tại đây.
Câu hỏi của Trương quang huy hoàng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
TN
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác
Tìm min:
\(M=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
2
VT
30 tháng 9 2017
đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)
=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}\)
nên \(M=\frac{1}{2}\left[\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(z+x\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{4y}{x}+\frac{4z}{x}+\frac{9z}{y}+\frac{9x}{y}+\frac{16x}{z}+\frac{16y}{z}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
\(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\ge2.\sqrt{\frac{4y.9x}{xy}}=12\)
\(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\ge2\sqrt{\frac{4z.16x}{xz}}=2.8=16\)
\(\frac{16y}{z}+\frac{9z}{y}\ge2\sqrt{\frac{16y.9z}{yz}}=2.12=24\)
cộng vào ta có
\(M\ge\frac{1}{2}\left(12+16+24\right)=26\)
=> \(M\ge26\)
11 tháng 8 2020
CÁCH KHÁC NÈ MỌI NGƯỜI !!!!!!
\(M+14,5=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{a+c-b}+4,5+\frac{16c}{a+b-c}+8\)
=> \(M+14,5=\frac{4a+2\left(b+c-a\right)}{b+c-a}+\frac{9b+4,5\left(a+c-b\right)}{a+c-b}+\frac{16c+8\left(a+b-c\right)}{a+b-c}\)
=> \(M+14,5=\frac{2\left(a+b+c\right)}{b+c-a}+\frac{4,5\left(a+b+c\right)}{a+c-b}+\frac{8\left(a+b+c\right)}{a+b-c}\)
=> \(M+14,5=\left(a+b+c\right)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{4,5}{a+c-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)
=> \(M+14,5\ge\frac{\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{4,5}+\sqrt{8}\right)^2}{a+b-c+b+c-a+c+a-b}\) (BĐT CAUCHY - SCHWARZ)
=> \(M+14,5\ge\frac{a+b+c}{a+b+c}.40,5\)
=> \(M+14,5\ge40,5\)
=> \(M\ge40,5-14,5=26\)
VẬY GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA M LÀ 26.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2022
Ta có:
\(\left(2a^2-b^2-c^2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^4+b^4+c^4-4a^2b^2-4a^2c^2+2b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge6a^2b^2+6a^2c^2-3a^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}a}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\sqrt{3}\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng vế: \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)
\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c\)
22 tháng 5 2021
`1/a^2+1/b^2+1/c^2<=(a+b+c)/(abc)`
`<=>1/a^2+1/b^2+1/c^2<=1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)`
`<=>2/a^2+2/b^2+2/c^2<=2/(ab)+2/(bc)+2/(ca)`
`<=>1/a^2-2/(ab)+1/b^2+1/b^2-2/(bc)+1/c^2+1/c^2-2/(ac)+1/a^2<=0`
`<=>(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2<=0`
Mà `(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2>=0`
`=>(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2=0`
`<=>1/a=1/b=1/c`
`<=>a=b=c`
`=>` tam giác này là tam giác đều
`=>hata=hatb=hatc=60^o`
22 tháng 5 2021
Áp dụng bđt cosi với hai số dương:
\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{2}{ab}\) ; \(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{2}{bc}\) ; \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\) (*)
Theo giả thiết có: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\le\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}\) (2*)
Từ (*), (2*) ,dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
=> Tam giác chứa ba cạnh a,b,c thỏa mãn gt là tam giác đều
=> Số đo các góc là 60 độ
: -> Câu hỏi của Almira