Cho hiình thang EFMN co(EF//MN) và FEM=EFN Chứng minh EFMN là hình thang cân (mong moi nguoi giup em)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có: AB//CD(gt)
mà E∈AB và F∈CD
nên AE//DF và EB//FC
Xét tứ giác AEFD có AE//DF(cmt)
nên AEFD là hình thang có hai đáy là AE và DF(Định nghĩa hình thang)
Hình thang AEFD(AE//DF) có
O là trung điểm của EF(gt)
OM//AE//DF(MN//AB//DC, E∈AB, O∈MN, F∈DC)
Do đó: M là trung điểm của AD(Định lí 3 về đường trung bình của hình thang)
Xét tứ giác BEFC có BE//FC(cmt)
nên BEFC là hình thang có hai đáy là BE và FC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang BEFC(BE//FC) có
O là trung điểm của EF(gt)
ON//EB//FC(MN//AB//DC, E∈AB, O∈MN, F∈CD)
Do đó: N là trung điểm của BC(Định lí 3 về đường trung bình của hình thang)
Xét ΔABD có
M là trung điểm của AD(cmt)
E là trung điểm của AB(gt)
Do đó: ME là đường trung bình của ΔABD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒ME//BD và ME=BD2ME=BD2(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Xét ΔBDC có
N là trung điểm của BC(cmt)
F là trung điểm của CD(gt)
Do đó: NF là đường trung bình của ΔBDC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒NF//BD và NF=BD2NF=BD2(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ME//NF và ME=NF
Xét tứ giác EMFN có ME//NF(cmt) và ME=NF(cmt)
nên EMFN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Xét ΔBAC có
E là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của BC(cmt)
Do đó: EN là đường trung bình của ΔBAC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒EN//AC và EN=AC2EN=AC2(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Hình bình hành EMFN trở thành hình thoi khi EM=EN
mà EM=BD2EM=BD2(cmt) và EN=AC2EN=AC2(cmt)
nên BD=AC
Vậy: Khi hình thang ABCD có thêm điều kiện BD=AC thì EMFN là hình thoi
a: Xét ΔABC có
N là trung điểm của AB
M là trung điểm của AC
Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: NM//BC
hay BCMN là hình thang
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC
Xét hình thang ABCD có
M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC
=>MN là đường trung bình
=>MN//AB//CD và MN=(AB+CD)/2
Xét ΔDAB có
M,E lần lượt là trung điểm của DA,DB
=>ME là đường trung bình
=>ME//AB và ME=AB/2
Xét ΔCBA có
F,N lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>FN là đường trung bình
=>FN//AB và FN=AB/2
ME//AB
MN//AB
ME cắt MN tại M
Do đó: M,E,N thẳng hàng
NF//AB
NM//AB
NM cắt NF tại N
Do đó: N,F,M thẳng hàng
=>M,E,F,N thẳng hàng
=>ME+EF+FN=MN
=>\(EF=\dfrac{1}{2}\left(CD+AB\right)-\dfrac{1}{2}AB-\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\left(CD-AB\right)\)
ta có MNPQ là hình thang=>MN//PQ
mà \(=\angle\left(NMP\right)=\angle\left(MNQ\right)=>\angle\left(NQP\right)=\angle\left(MPQ\right)\)
=>tam giác MNO cân tại O=>MO=NO
=>tam giác QOP cân tại O=>OQ=Op
=>MO+OP=NO+OQ=>NQ=MP
=>MNPQ là hình thang cân
\(=>\angle\left(M\right)=\angle\left(N\right)\left(1\right)\)
\(\angle\left(Q\right)=\angle\left(P\right)\left(2\right)\)
mà EF//PQ=>EF//MN
=>MNFE là hình thang(3)
từ (1)(3)=>MNFE là hình thang cân
=>EFPQ là hình thang(4)
(2)(4)=>EFPQ là hình thang cân
Ta có: \(\widehat{OMN}=\widehat{OPQ}\)
\(\widehat{ONM}=\widehat{OQP}\)
mà \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)
nên \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)
Xét ΔOMN có \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)
nên ΔOMN cân tại O
Xét ΔOPQ có \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)
nên ΔOPQ cân tại O
Ta có: OM+OP=MP
ON+OQ=QN
mà OM=ON
và OP=OQ
nên MP=QN
Hình thang MNPQ có MP=QN
nên MNPQ là hình thang cân
Suy ra: \(\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\) và \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)
Hình thang EMNF có \(\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\)
nên EMNF là hình thang cân
Hình thang EQPF có \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)
nên EQPF là hình thang cân
a:
Xét hình thang MNEF có
A là trung điểm của MF
B là trung điểm của NE
Do đó: AB là đường trung bình của hình thang MNEF
Suy ra: AB//MN//FE
Xét ΔFMN có
A là trung điểm của MF
AJ//MN
Do đó: J là trung điểm của NF
Xét ΔFMN có
A là trung điểm của MF
J là trung điểm của NF
Do đó: JA là đường trung bình của ΔFMN
Suy ra: \(AJ=\dfrac{MN}{2}\left(1\right)\)
Xét ΔEMN có
B là trung điểm của NE
BI//MN
Do đó: I là trung điểm của ME
Xét ΔEMN có
B là trung điểm của NE
I là trung điểm của ME
Do đó: BI là đường trung bình của ΔEMN
Suy ra: \(BI=\dfrac{MN}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra AJ=BI
hay AI=BJ
Xét Tứ Giác FEMN có
FE // MN
=> Tứ giác FEMN là hình thang ( tứ giác có hai cạnh đáy // ) (2)
mà NFE = MEF (1)
Từ (1) và (2) => Tứ giác FEMN là hình thang cân ( hình thang có hai góc kề một đáy = nhau )