Question

[Thịnh Nguyễn Vũ]

Cho biểu thức:

P=\(\left(\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{x^2}{9-x^2}\right):\dfrac{x+6}{3x+9}\)
a) Rút gọn
b)tính giá trị của biểu thức biết \(2x-\left|4-x\right|=5\)
c) Tìm x để biểu thức nguyên
d) Tìm x để \(P^2-P+1\) có giá trị nhỏ nhất

Answer 1

[Trần Quốc Lộc]

a) \(ĐKXĐ:x\ne\pm3;x\ne-6\)

Với \(x\ne\pm3;x\ne-6\), ta có:

\(P=\left(\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{x^2}{9-x^2}\right):\dfrac{x+6}{3x+9}\\ =\left(\dfrac{x\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\dfrac{2\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\dfrac{x^2}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\cdot\dfrac{3\left(x+3\right)}{x+6}\\ =\dfrac{x^2+3x-2x+6-x^2}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\cdot\dfrac{3\left(x+3\right)}{x+6}\\ =\dfrac{x+6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\cdot\dfrac{3\left(x+3\right)}{x+6}\\ =\dfrac{3}{x-3}\)

Vậy \(P=\dfrac{3}{x-3}\) với \(x\ne\pm3;x\ne-6\)

b) Ta có: \(2x-\left|4-x\right|=5\)

+) Nếu \(x\le4\Leftrightarrow2x-\left(4-x\right)=5\)

\(\Leftrightarrow2x-4+x=5\\ \Leftrightarrow3x=9\\ \Leftrightarrow x=3\left(Tm\right)\)

+) Nếu \(x>4\Leftrightarrow2x-\left(x-4\right)=5\)

\(\Leftrightarrow2x-x+4=5\\ \Leftrightarrow x=1\left(Ktm\right)\)

Với \(x\ne\pm3;x\ne-6\)

Khi \(x=3\left(Ktm\right)\rightarrow\text{loại}\)

Vậy khi \(2x-\left|4-x\right|=5\) không có giá trị.

Answer 2

[Trần Quốc Lộc]

c) Với \(x\ne\pm3;x\ne-6\)

Để P nhận giá trị nguyên

thì \(\Rightarrow\dfrac{3}{x-3}\in Z\)

\(\Rightarrow3⋮x-3\\ \Rightarrow x-3\inƯ_{\left(3\right)}\)

Mà \(Ư_{\left(3\right)}=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Lập bảng giá trị:

\(x-3\)	\(-3\)	\(-1\)	\(1\)	\(3\)
\(x\)	\(0\left(TM\right)\)	\(2\left(TM\right)\)	\(4\left(TM\right)\)	\(6\left(KTM\right)\)

Vậy để P nhận giá trị nguyên

thì \(x\in\left\{0;2;4\right\}\)

d) Với \(x\ne\pm3;x\ne-6\)

Ta có : \(P^2-P+1=\dfrac{9}{\left(x-3\right)^2}-\dfrac{3}{x-3}+1\)

Đặt \(\dfrac{3}{x-3}=y\)

\(\Rightarrow P^2-P+1=y^2-y+1\\ =y^2-y+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\\ =\left(y^2-y+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}\\ =\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Do \(\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow P^2-P+1=\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\forall y\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow y-\dfrac{1}{2}=0\\ \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{3}{x-3}=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow x-3=6\\ \Leftrightarrow x=9\left(TM\right)\)

Vậy \(GTNN\) của biểu thức là \(\dfrac{3}{4}\) khi \(x=9\)