Cho a + b > 2 . Chứng minh rằng :
a. a2 + b2 > 2
b. a4 + b4 > 2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NC
17 tháng 8 2020
a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
NC
17 tháng 8 2020
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
25 tháng 5 2021
a)Xét \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\dfrac{a^2+b^2}{2}=\)\(\dfrac{a^2+2ab+b^2-2\left(a^2+b^2\right)}{4}\)\(=\dfrac{-a^2+2ab-b^2}{4}\)\(=\dfrac{-\left(a-b\right)^2}{4}\le0\forall a;b\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\) (bạn ghi sai đề?)
Dấu = xảy ra <=> a=b
b) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
\(=a^{12}+a^{10}b^2+a^2b^{10}+b^{12}-\left(a^{12}+a^8b^4+a^4b^8+b^{12}\right)\)
\(=a^2b^2\left(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6\right)\)
\(=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)\left(a^6-b^6\right)=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) với mọi a,b
=> \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
Dấu = xảy ra <=>a=b
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 5 2019
a/
Do \(\left\{{}\begin{matrix}a>2\Rightarrow\frac{1}{a}< \frac{1}{2}\\b>2\Rightarrow\frac{1}{b}< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}< 1\Rightarrow a+b< ab\) (đpcm)
b/ Ko rõ đề là gì
c/ \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
26 tháng 8 2019
a A 3 2 4 1 c b B 3 2 4 1
a, \(\widehat{B}_1=\widehat{B_3}\) đối đỉnh
\(\widehat{A}_1=\widehat{B}_1\) theo bài đầu
Do đó \(\widehat{A_1}=\widehat{B_3}\)
Mặt khác,ta có \(\widehat{A_1}+\widehat{A_4}=180^0\) hai góc kề bù
=> \(\widehat{A_4}=180^0-\widehat{A_1}\) \((1)\)
Và \(\widehat{B_2}+\widehat{B_3}=180^0\) hai góc kề bù
=> \(\widehat{B_2}=180^0-\widehat{B_3}\) \((2)\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{B_3}\) \((3)\)
Từ 1,2,3 ta có : \(\widehat{A_4}=\widehat{B_2}\)
b, \(\widehat{A_2}=\widehat{A_4}\) đối đỉnh
\(\widehat{A_4}=\widehat{B_2}\) theo câu a
Do đó : \(\widehat{A_2}=\widehat{B_2};\widehat{A_1}=\widehat{A_3}\) đối đỉnh
\(\widehat{A_1}=\widehat{B_3}\) câu a
Do đó \(\widehat{A_3}=\widehat{B_3}\). Mặt khác \(\widehat{B_2}=\widehat{B_4}\) hai góc đối đỉnh
\(\widehat{A_4}=\widehat{B_2}\) câu a . Do đó \(\widehat{A_4}=\widehat{B_4}\)
c, \(\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=180^0\) hai góc kề bù
\(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\) theo đầu bài
Do đó \(\widehat{A_1}+\widehat{B_2}=180^0\)
Mặt khác \(\widehat{B_2}+\widehat{B_3}=180^0\) kề bù
\(\widehat{A_4}=\widehat{B_2}\) theo câu a . Do đó \(\widehat{A_4}+\widehat{B_3}=180^0\)
PV
1
T
26 tháng 3 2020
Rất khủng khiếp (tại cái chương trình của em nó xấu:v) nhưng nó là một cách chứng minh:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\frac{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2\ge\frac{27\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Sau khi quy đồng, ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:
Hiển nhiên đúng vì \(x=min\left\{x,y,z\right\}\)
T
1
11 tháng 1 2022
Ta có a+b+c=0⇔(a+b+c)2=0⇔a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0a+b+c=0⇔(a+b+c)2=0⇔a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0
+) Nếu a2+b2+c2=2a2+b2+c2=2 thì ab+bc+ac=−22=−1⇔(ab+bc+ac)2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1ab+bc+ac=−22=−1⇔(ab+bc+ac)2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1
⇔a2b2+b2c2+c2a2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2=1
Ta có : (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4
⇔a4+b4+c2+2=4⇔a4+b4+c4=2⇔a4+b4+c2+2=4⇔a4+b4+c4=2
+ Nếu a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1 làm tương tự
Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=2^2=4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2>2\left(đpcm\right)\)