Question

[Nguyễn Thiện Minh]

CMR: \(a^8+b^8+c^8\) ≥ \(a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)

Answer 1

[Linh Linh]

Ta có: \(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)

Ta sẽ chứng minh: \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\) (*)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}ab=x\\bc=y\\ac=z\end{matrix}\right.\) ta có: \(bdt\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

Tiếp tục có: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\)

Ta sẽ chứng minh: \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^4z^2}=2xzy^2\\y^2z^2+z^2x^2\ge2\sqrt{y^2z^4x^2}=2xyz^2\\x^2y^2+z^2x^2\ge2\sqrt{x^4y^2z^2}=2yzx^2\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế: \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xzy^2+xyz^2+yzx^2=xyz\left(x+y+z\right)\)

Vậy (*) đúng

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng