CMR: \(a^8+b^8+c^8\) ≥ \(a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
\(8VT=4\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\left(2ab^2+2bc^2+2ca^2+2abc\right)\le\left(a^2b+b^2c+c^2a+2ab^2+2bc^2+2ca^2+3abc\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{32}\left(2a^2b+2b^2c+2c^2a+4ca^2+4ab^2+4bc^2+6abc\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{32}\left(2a^2b+2b^2c+2c^2a+4ca^2+4ab^2+4bc^2+9abc\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{32}\left[\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{512}\left[\left(a+2b\right)\left(4b+8c\right)\left(c+2a\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{512}\left(\frac{a+2b+4b+8c+c+2a}{3}\right)^6=\frac{1}{512}\left(a+2b+3c\right)^6=\frac{4^6}{512}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\)
HT
3
14 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y =z
Ta có: \(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^4c^2+b^2c^4a^2+c^2a^4b^2\)
\(=a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)
Vậy \(a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
14 tháng 1 2018
bạn ơi vì sao \(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 1
Trước hết theo BĐT Schur bậc 3 ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+9abc\ge2\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (do \(a+b+c=3\)) (1)
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(P=\dfrac{\left(a^2+abc\right)^2}{a^2b^2+2abc^2}+\dfrac{\left(b^2+abc\right)^2}{b^2c^2+2a^2bc}+\dfrac{\left(c^2+abc\right)^2}{a^2c^2+2ab^2c}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Áp dụng (1):
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left[2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
C
13 tháng 1
Anh giúp em câu này ạ, câu này hơi khó anh ạ, làm chắc cũng lâu, có gì anh để mai cũng được ạ!
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-hinh-chop-sabcd-co-day-la-hinh-binh-hanh-m-va-p-la-hai-diem-lan-luot-di-dong-tren-ad-va-sc-sao-cho-mamd-pspc-x-x0-mat-phang-a-di-qua-m-va-song-song-voi-sab-cat-hinh-chop-sabcd-t.8753881358034
PH
0
ZP
4
4 tháng 2 2017
Ta có:
\(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)
\(\ge a^4b^2c^2+b^4c^2a^2+c^4a^2b^2=a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)
Cái bất đẳng thức áp dụng trong bài là:
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
LA
4 tháng 2 2017
ĐẶt 2^a = x; 2^b=y; 2^c=z;=> x;y;z>0
dpcm<=> x^3+y^3+z^3 ≥x+y+z và xyz = 2^a.2^b.2^c =2^(a+b+c)=1
Ta có: x^3+y^3 = (x+y)(x²+y²-xy).Vì x²+y² ≥ 2xy => x^3+y^3 ≥xy(x+y)
Tương tự ta có: y^3+z^3≥ yz(y+z)
z^3+ x^3≥ xz(x+z)
Cộng vế với vế ta có:
2(x^3+y^3+z^3) ≥ x²y+ xy² + y²z+yz²+x²z+xz²
Cộng 2 vế với x^3+y^3 +z^3 ta có:
3(x^3+y^3+z^3) ≥ x²(x+y+z) + y²(x+y+z) + z²(x+y+z) = (x+y+z)(x²+y²+z²) (*)
Theo cô si ta có:
x²+y²+z² ≥3.(x².y².z²)^1/3 = 3 (vì xyz=1)
=> 3(x^3+y^3+z^3) ≥ 3(x+y+z)
=> x^3+y^3+z^3 ≥ x+y+z
=> dpcm
18 tháng 6 2017
Ta có:
(a + b + c)2 = 0 => a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
=> a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)
=> (a2 + b2 + c2)2 = 4(ab + bc + ca)2
=> a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(ab2c + bc2a + ca2b)
=> a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) + 8abc(a + b + c)
=> a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (vì a + b + c = 0) (1)
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2a^2bc+2abc^2\right)\\2\left(a^4+b^4+c^4\right)=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\left(2\right)\\a^4+b^4+c^4=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1); (2) và (3) ta có đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 12 2020
\(P=\dfrac{\left(a^2+abc\right)^2}{a^2b^2+2abc^2}+\dfrac{\left(b^2+abc\right)^2}{b^2c^2+2a^2bc}+\dfrac{\left(c^2+abc\right)}{a^2c^2+2ab^2c}\)
\(P\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(P\ge\dfrac{\left[a^2+b^2+c^2+3abc\right]^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh \(\dfrac{a^2+b^2+c^2+3abc}{ab+bc+ca}\ge2\)
Ta có: \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow3abc\ge4\left(ab+bc+ca\right)-9\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2+3abc}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)-9}{ab+bc+ca}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-9+2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=2\) (đpcm)
5 tháng 6 2021
sai cơ bản rồi bạn ơi : a(a+bc)^2 không bằng dc (a^2+abc)^2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2017
Bài 3)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( 3-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}-\frac{c}{c+a} \right )\)
Để cho gọn, đặt \((x,y,z)=\left (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\).
BĐT được viết lại như sau:
\(A=2\left [ \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\) \((\star)\)
Ta nhớ đến hai bổ đề khá quen thuộc sau:
Bổ đề 1: Với \(a,b>0\) thì \(\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}\)
Cách CM rất đơn giản, Cauchy - Schwarz:
\((a+1)^2\leq (a+b)(a+\frac{1}{b})\Rightarrow \frac{1}{(a+1)^2}\geq \frac{b}{(a+b)(ab+1)}\)
Tương tự với biểu thức còn lại và cộng vào thu được đpcm
Bổ đề 2: Với \(x,y>0,xy\geq 1\) thì \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)
Cách CM: Quy đồng ta có đpcm.
Do tính hoán vị nên không mất tổng quát giả sử \(z=\min (x,y,z)\)
\(\Rightarrow xy\geq 1\). Áp dụng hai bổ đề trên:
\(A\geq 2\left [ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{z+1}=2\left [ \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{1}{z+1}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{2(z^2+z+1)}{(z+1)^2}+\frac{1}{z+1}+2-\frac{2}{\sqrt{z}+1}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow 2\left [ \frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}-\frac{3}{4} \right ]+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{2}-\left ( \frac{2}{\sqrt{z}+1}-1 \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(z-1)^2}{2(z+1)^2}-\frac{z-1}{2(z+1)}+\frac{z-1}{(\sqrt{z}+1)^2}\geq 0\Leftrightarrow (z-1)\left [ \frac{1}{(\sqrt{z}+1)^2}-\frac{1}{(z+1)^2} \right ]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z}-1)^2(\sqrt{z}+1)(z+\sqrt{z}+2)}{(\sqrt{z}+1)^2(z+1)^2}\geq 0\) ( luôn đúng với mọi \(z>0\) )
Do đó \((\star)\) được cm. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Nghỉ tuyển lâu rồi giờ mới gặp mấy bài BĐT phải động não. Khuya rồi nên xin phép làm bài 3 trước. Hai bài kia xin khiếu. Nếu làm đc chắc tối mai sẽ post.
2 tháng 3 2017
Bài 1:
Cho \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Khi đó \(M=\sqrt{3}-2\)
Ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất
Thật vậy, đặt c là giá trị nhỏ nhất của a,b,c. Khi đó, ta cần chứng minh
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{ab+ac+bc}}\geq(\sqrt3-2)\sqrt{ab+ac+bc}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab+ac+bc}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\right)\geq2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-a-b+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{b^2}{a}-c+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq\)
\(\geq2((a-b)^2+(c-a)(c-b))\)
\(\Leftrightarrow(a-b)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2\right)+(c-a)(c-b)\left(\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\right)+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq0\)
Đúng bởi \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2>0;\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-2>0\) và
\(a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}=\frac{(a-b)^2+(c-a)(c-b)}{a+b+c+\sqrt{3(ab+ac+bc)}}\geq0\)
BĐT đã được c/m. Vậy \(M_{Min}=\sqrt{3}-2\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
P/s: Nhìn qua thấy ngon mà làm mới thấy thật sự là "choáng"
8 tháng 12 2016
Ta có : \(3=ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\Rightarrow1\ge abc\)
\(\frac{bc}{a^2\left(b+2c\right)}+\frac{ac}{b^2\left(c+2a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+2b\right)}\)
\(=\frac{\left(bc\right)^2}{abc\left(ab+2ac\right)}+\frac{\left(ac\right)^2}{abc\left(bc+2ab\right)}+\frac{\left(ab\right)^2}{abc\left(ca+2cb\right)}\)
\(\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{abc\left(3ab+3ac+3bc\right)}\)\(=\frac{3^2}{9abc}\)\(\ge1\)\(\left(dpcm\right)\)
Ta có: \(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)
Ta sẽ chứng minh: \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\) (*)
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}ab=x\\bc=y\\ac=z\end{matrix}\right.\) ta có: \(bdt\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
Tiếp tục có: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^4z^2}=2xzy^2\\y^2z^2+z^2x^2\ge2\sqrt{y^2z^4x^2}=2xyz^2\\x^2y^2+z^2x^2\ge2\sqrt{x^4y^2z^2}=2yzx^2\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế: \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xzy^2+xyz^2+yzx^2=xyz\left(x+y+z\right)\)
Vậy (*) đúng
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng