Tìm tất cả các số nguyên dương n và k sao cho: \(\left(n+1\right)^k-1=n!\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 4 2022
Trước hết ta dùng quy tắc tổ hợp chứng minh điều này: \(\dfrac{\left(n^2\right)!}{\left(n!\right)^{n+1}}\) luôn luôn là 1 số nguyên dương
Giả sử có \(n^2\) người, ta muốn chia họ vào n nhóm khác nhau, mỗi nhóm có đúng n người. Thứ tự của các nhóm và thứ tự mỗi người trong nhóm không quan trọng.
Xếp vị trí \(n^2\) người, có \(\left(n^2\right)!\) cách
Do trong các nhóm, vị trí mỗi người là không quan trọng nên mỗi nhóm bị lặp lại \(n!\) lần cách xếp (là hoán vị của n người trong nhóm). Như vậy, với n nhóm ta đã bị lặp lại: \(n!.n!...n!=\left(n!\right)^n\) lần xếp
Do vị trí của mỗi nhóm là không quan trọng, do đó khi xếp ta đã lặp lại thêm \(n!\) lần (là hoán vị của các nhóm với nhau)
Tổng cộng, ta đã lặp: \(\left(n!\right)^n.n!=\left(n!\right)^{n+1}\) lần xếp
Do đó, số cách xếp thực sự là: \(\dfrac{\left(n^2\right)!}{\left(n!\right)^{n+1}}\)
Số cách xếp vị trí hiển nhiên phải là 1 số nguyên dương, do đó, \(\dfrac{\left(n^2\right)!}{\left(n!\right)^{n+1}}\) cũng phải là 1 số nguyên dương
\(\Rightarrow\left(n^2\right)!=k.\left(n!\right)^{n+1}\) với k là số nguyên dương
Để \(\left(n!\right)^n⋮\left(n^2-1\right)!\Rightarrow\left(n!\right)^n=m.\left(n^2-1\right)!\) với m nguyên dương
\(\Rightarrow\left(n!\right)^n=m.\dfrac{\left(n^2\right)!}{n^2}=m.\dfrac{k.\left(n!\right)^{n+1}}{n^2}\)
\(\Rightarrow n!.k.m=n^2\)
\(\Rightarrow n=\left(n-1\right)!.k.m\ge\left(n-2\right)\left(n-1\right).k.m\ge\left(n-2\right)\left(n-1\right)\)
\(\Rightarrow n^2-4n+2\le0\)
\(\Rightarrow n\le2+\sqrt{2}\Rightarrow n=\left\{1;2;3\right\}\)
Thử lại chỉ có \(n=1\) thỏa mãn
Vậy \(n=1\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn yêu cầu
F
7 tháng 4 2022
Em cx ms nghĩ được 1 phần thôi ạ ; em dùng LTE ạ k biết có đúng k ?
Với mỗi số nguyên tố p và số nguyên dương q kí hiệu \(v_p\left(q\right)\) là số mũ đúng của p trong phân tích tiêu chuẩn ra thừa số nguyên tố của \(q!\)
C/m : n = 4 và n = p là số nguyên tố thì (n!)^n \(⋮̸\) \(\left(n^2-1\right)!\)
Thật vậy ; n = 4 thì \(v_2\left(4!\right)^4=4v_2\left(24\right)=12>11=v_2\left(4^2-1\right)!\)
=> (n!)^n \(⋮̸\) \(\left(n^2-1\right)!\)
CMTT với n = p
Tiếp theo ; ta c/m : n \(\ne4\) và \(n\ne p\) thì \(\left(n!\right)^n⋮\left(n^2-1\right)!\)
(Đoạn này e chưa ra)
B
Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn 2n+11 chia hết cho 2k-1.
1
DD
29 tháng 6 2023
Để tìm tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ giải phương trình theo n.
2n + 11 chia hết cho 2k - 1 có nghĩa là tồn tại một số nguyên dương m sao cho:
2n + 11 = (2k - 1)m
Chuyển biểu thức trên về dạng phương trình tuyến tính:
2n - (2k - 1)m = -11
Ta nhận thấy rằng nếu ta chọn một số nguyên dương nào đó, ta có thể tìm được một số nguyên dương k tương ứng để phương trình trên có nghiệm. Do đó, ta chỉ cần tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn phương trình trên.
Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng (Extended Euclidean Algorithm). Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể tìm được một số giá trị n và k thỏa mãn phương trình bằng cách thử từng giá trị của n và tính giá trị tương ứng của k.
Dưới đây là một số cặp giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho:
(n, k) = (3, 2), (7, 3), (11, 4), (15, 5), (19, 6), …
Từ đó, ta có thể thấy rằng có vô số giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho.
NO
26 tháng 11 2021
A) Vì 2013 là số lẻ nên (\(1^{2013}+2^{2013}\)+....\(n^{2013}\)): (1+2+...+n)
Hay( \(1^{2013}+2^{2013}\)+\(3^{2013}\)+......\(n^{2013}\)) :\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
=>2(\(1^{2013}+2^{2013}\)+\(3^{2013}\)+......\(n^{2013}\)):n(n+1)(đpcm)
B)
Do 1 lẻ , \(2q^2\) chẵn nên p lẻ
p2−1⇔\(2q^2\)(p−1)(p+1)=\(2q^2\)
p lẻ nên p−1 và p+1đều chẵn ⇒(p−1)(p+1)⋮4
⇒\(q^2\):2 =>q:2 =>q=2
⇒\(q^2\)=2.2\(^2\)+1=9=>q=3
Chắc đúng vì hôm trước cô mik giải thik v
BH
3
31 tháng 7 2020
ta có tích từ 3 stn liên tiếp trở lên thì chia hết cho 3
theo đề bài 9n+11 là tích k số tự nhiên liên tiếp mà 9n+11 không chia hết cho 3 nên k=2
đặt 9n+11=a(a+1) với a là số nguyên dương
9n+11=a(a+1) <=> 4.9n+45=4a2+4a+1
<=> (2a+1)2-(2.3n)2=45 <=> (2a+1-2.3n)(2a+1+2.3n)=45
vì a,n nguyên dương và 2a+1+2.3n >=9 nên xảy ra các trường hợp sau
th1: \(\hept{\begin{cases}2a+1+2\cdot3^n=9\left(1\right)\\2+1+2\cdot3^n=5\left(2\right)\end{cases}}\)
từ (1) và (2) ta có 4a+2=14 <=> a=3 => 9n+11=12 <=> 9n=1 <=> n=0 (loại)
th2: \(\hept{\begin{cases}2a+1-2\cdot3^n=15\left(3\right)\\2a+1+2\cdot3^n=3\left(4\right)\end{cases}}\)
từ (3) và (4) ta có 4a+2=18 <=> a=4 => 9n+11=20 <= 9n=9 <=> n=1 (tm)
th3: \(\hept{\begin{cases}2a+1-2\cdot3^n=45\left(5\right)\\2a+1+2\cdot3^n=1\left(6\right)\end{cases}}\)
từ (5) và (6) ta có 4a+2=46 <=> a=11 => 9n+11=132 <=> 9n=121 => không tồn tại n
vậy n=1
B
1 tháng 8 2020
Vì \(9^n+11⋮̸3\)nên k<3 => k=2 (k>1) (với n thuộc N*)
Ta có: \(9^n-1⋮\left(9-1\right)\Leftrightarrow9^n-1⋮8\Leftrightarrow9^n-1⋮4\Leftrightarrow9^n+11⋮4\)
Mà \(9^n+11\)là tích của hai STN liên tiếp nên 1 trong 2 số bằng 4, số còn lại là 5 (vì 9^n+11 không chia hết cho 3)
Từ đó, ta có 9^n+11=4*5=20 => 9^n=9 => n=1