Question

[Tilly Nguyễn]

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E. Gọi K là điểm đối xứng với M qua E

a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

b) Tính diện tích tứ giác ADME, biết AB=6cm, AC=8cm.

c) Chứng minh tứ giác AMCK là hình thoi.

d) Để tứ giác AMCK là hình vuông thì tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì?

Answer 1

[Trần Quốc Lộc]

\(\text{ a) }\text{Ta có : }MD\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{MDA}=90^0\\ ME\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{MEA}=90^0\\ \text{Mà }\text{ }\widehat{A}=90^0\\ \Rightarrow\text{Tứ giác }ADME\text{ có: }\widehat{MDA}=\widehat{MEA}=\widehat{A}=90^0\\ \Rightarrow\text{Tứ giác }ADME\text{ là hình chữ nhật}\left(\text{ dấu hiệu nhận biết }\right)\)

\(\text{b) }-Xét\text{ }\Delta ABC\text{ có: }\left\{{}\begin{matrix}M\text{ là trung điểm của }BC\left(gt\right)\\MD//AC\left(cùng\text{ }\perp\text{ }với\text{ }AB\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow MD\text{ }là\text{ }đường\text{ }trung\text{ }bình\text{ }\Delta ABC\\ \Rightarrow MD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\cdot8=4\left(cm\right)\\ \Rightarrow D\text{ là trung điểm }AB\\ \Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\cdot6=3\left(cm\right)\\ \text{Mà tứ giác ADME là hình chữ nhật }\left(\text{Chứng minh ý a}\right)\\ \Rightarrow S_{ADME}=AD\cdot MD=3\cdot4=12\left(cm^2\right)\)

\(\text{c) }-Xét\text{ }\Delta ABC\text{ }có:\left\{{}\begin{matrix}M\text{ là trung điểm của }BC\left(gt\right)\\ME//AB\left(cùng\text{ }\perp\text{ }với\text{ }AC\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow E\text{ là trung điểm }AC\\ \text{Mà }E\text{ là trung điểm }MK\left(M\text{ đối xứng }K\text{ qua }E\right)\\ \Rightarrow\text{ Tứ giác }AMCK\text{ là hình bình hành }\left(\text{ Dấu hiệu nhận biết }\right)\\ MK\perp AC\left(ME\perp AC;E\in MK\right)\\ \Rightarrow\text{ Tứ giác }AMCK\text{ là hình thoi }\left(\text{ Dấu hiệu nhận biết }\right)\)

\(\text{d) Ta có : }\text{ Tứ giác }AMCK\text{ là hình thoi }\left(\text{Chứng minh ý c}\right)\\ \Rightarrow\text{ Để tứ giác }AMCK\text{ là hình vuông }\\ thì\Rightarrow AM\perp BC\\ \Rightarrow AM\text{ là đường cao ứng với cạnh }BC\text{ của }\Delta ABC\\ \)\(\text{Mà }AM\text{ là dường trung tuyến ứng với cạnh }BC\text{ của }\Delta ABC\left(M\text{ là trung điểm }BC\right)\)\(\Rightarrow\Delta ABC\text{ cân tại }A\left(\text{ Có đường trung tuyến đồng thời là đường cao }\right)\)\(\text{Mà }\Delta ABC\text{ vuông tại }A\left(gt\right)\\ \Rightarrow\Delta ABC\text{ vuông cân tại }A\)

Vậy.........................................