Cho a+b+c=a^2+b^2+c^2=1và a,b,c tương ứng tỉ lệ thuận với x,y,z chứng minh rằng (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 8 2017
ta có: a+b+c=1
<=>(a+b+c)^2=1
<=>ab+bc+ca=0 (1)
mặt khác: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x/a=y/b=z/c=(x+y+z)/(a+b+c)=x+y+z
<=> x=a(x+y+z) ; y=b(x+y+z) ; z=c(x+y+z)
=>xy+yz+zx=ab(x+y+z)^2+bc(x+y+z)^2+ca(x...
<=>xy+yz+zx=(ab+bc+ca)(x+y+z)^2 (2)
từ (1) và (2) ta có đpcm
Giải:
Vì \(a,b,c\) tỉ lệ thuân với \(x,y,z\) nên: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{y}=\dfrac{z}{c}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=\dfrac{x+y+z}{1}=x+y+z.\)
Lại có: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\Rightarrow\left(\dfrac{x}{a}\right)^2=\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=\left(\dfrac{z}{c}\right)^2\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2_{\left(1\right)}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:
\(\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{1}=x^2+y^2+z^2_{\left(2\right)}.\)
Từ \(_{\left(1\right)}\) và \(_{\left(2\right)}\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\left(đpcm\right).\)
Vì a;b;c tỉ lệ thuận với x;y;z \(\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2\)
Ta lại có :
\(\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\\ \Rightarrow x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\left(đpcm\right)\)