Cho tam giác ABC có AD, BE,CF là các đường cao đồng quy tại H.Chứng minh rằng:\(\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}=2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 10 2019
\(\Delta ABH\) và \(\Delta ABD\) có chung đường cao kẻ từ \(B\rightarrow AD\) nên \(\frac{AH}{AD}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABD}}\) (1)
\(\Delta AHC\) và \(\Delta ADC\) có chung đường cao kẻ từ \(C\rightarrow AD\) nên \(\frac{AH}{AD}=\frac{S_{AHC}}{S_{ADC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\frac{AH}{AD}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AHC}}{S_{ADC}}=\frac{S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABD}+S_{ADC}}=\frac{S_{ABH}+S_{ACH}}{S_{ABC}}\)
( Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau )
CMTT \(\frac{BH}{BE}=\frac{S_{ABH}+S_{BCH}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{CH}{CF}=\frac{S_{ACH}+S_{BCH}}{S_{ABC}}\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được :
\(\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=\frac{2\left(S_{ABH}+S_{ACH}+S_{BCH}\right)}{S_{ABC}}=\frac{2S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
TT
1 tháng 5 2023
< Bạn tự vẽ hình nha>
a)Xét ΔABE và ΔACF, ta có:
góc A: chung
góc F=góc E= 90o
Vậy ΔABE ∼ ΔACF (g.g)
b)Xét ΔHEC và ΔHFB là:
góc H: chung
H1=H2(đối đỉnh)
Vậy ΔHEC∼ ΔHFB (g.g)
⇒\(\dfrac{HE}{HF}\)=\(\dfrac{HC}{HB}\)⇔HE.HB=HF.HC
<Mình chỉ biết đến đó thôi>
9 tháng 2 2022
\(Ta.có:\\ S_{HBC}=\dfrac{1}{2}.BH.CD\\ S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.BC.AD\\ \Rightarrow\dfrac{HD}{DA}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\\ Tương.tự:\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ABc}}\\ Vậy.\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HF}{CF}+\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{S_{BCH}+S_{ACH}+S_{ABH}}{S_{ABC}}=1\)
CM
16 tháng 10 2017
Xét △ AFH và △ CDH, ta có:
∠ (AFH) = ∠ (CDH) = 90 0
∠ (AHF) = ∠ (CHD) (đối đỉnh)
Suy ra: △ AFH đồng dạng △ CDH (g.g)
Suy ra: 
Suy ra: AH.DH = CH.FH (1)
Xét △ AEH và △ BDH,ta có:
∠ (AEH) = ∠ (BDH) = 90 0
∠ (AHE) = ∠ (BHD) (đối đỉnh)
Suy ra: △ AEH đồng dạng △ BDH (g.g)
Suy ra:
Suy ra: AH.DH = BH.EH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH.DH = BH.EH = CH.FH.
\(\Delta ABH\) và \(\Delta ABD\) có chung đường cao kẻ từ B -> AD nên \(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ABD}}\) (1)
\(\Delta AHC\) và \(\Delta ADC\) có chung đường cao kẻ từ C -> AD nên \(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{S_{AHC}}{S_{ADC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ABD}}=\dfrac{S_{AHC}}{S_{ADC}}=\dfrac{S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABD}+S_{ADC}}=\dfrac{S_{ABH}+S_{ACH}}{S_{ABC}}\)(áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau)
CMTT: \(\dfrac{BH}{BE}=\dfrac{S_{ABH}+S_{BCH}}{S_{ABC}}\)
\(\dfrac{CH}{CF}=\dfrac{S_{ACH}+S_{BCH}}{S_{ABC}}\)
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được :
\(\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}=\dfrac{2\left(S_{ABH}+S_{ACH}+S_{BCH}\right)}{S_{ABC}}=\dfrac{2S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\)
(đpcm)