K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 6 2018

Lời giải:

Đặt \((a,b,c)=(m+4,n+5,p+6)\Rightarrow m,n,p\geq 0\)

Điều kiện đb trở thành:

\(a^2+b^2+c^2=90\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p=13\)

\(m,n,p\geq 0\) nên:

\(13=m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p\leq (m+n+p)^2+12(m+n+p)\)

\(\Leftrightarrow (m+n+p+13)(m+n+p-1)\geq 0\)

\(\Rightarrow m+n+p\geq 1\)

\(\Rightarrow a+b+c=m+n+p+15\geq 16\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(4,5,7)\)

14 tháng 6 2018

28/11/2017 mà chị vẫn giải à

29 tháng 11 2017

1/ \(x^4+5>x^2+4x\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1+x^2-4x+4>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2+\left(x-2\right)^2>0\) đúng vì đấu = không xảy ra

29 tháng 11 2017

2/ Ta có:

\(a=\sqrt{90-b^2-c^2}\le\sqrt{90-5^2-6^2}< 6\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}b< 7\\c\le7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-4\right)\left(a-9\right)+\left(b-5\right)\left(b-8\right)+\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-13\left(a+b+c\right)+118\le0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge16\)

21 tháng 12 2018

\(Taco:\)

\(Đặt:S=a^2+b^2+c^2\)

\(.Với:a=4;b=5;c=6\Rightarrow S=76< 90\)

\(Taco:4+5+6=15\)

\(mà:a=4;b=5;c=6.S< 90\Rightarrow\)ít nhất a>4 hoặc: b>5 hoặc: c>6

Vì: a2;b2,c2 E N=> a,b,c E N

=> \(a+b+c\inℕ\Rightarrow a+b+c>15\Rightarrow a+b+c\ge16\left(đpcm\right)\)

22 tháng 12 2018

Hoi nham ti ti nx to lam lai cho trua nhe

Từ giả thiết ta suy ra 

(a-4)(a-9)+(b-5)(b-8)+(c-6)(c-7)\(\le\)0

⇔a2+b2+c2−13(a+b+c)+118≤0⇔a2+b2+c2−13(a+b+c)+118≤0

⇔a+b+c≥16

Dấu "=" xảy ra khi a=4,b=5,c=6

NV
30 tháng 1 2022

\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge4\\b\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge16+25=41\Rightarrow c^2=90-\left(a^2+b^2\right)\le49\Rightarrow c\le7\)

Tương tự: \(b=\sqrt{90-\left(a^2+c^2\right)}\le\sqrt{90-\left(4^2+6^2\right)}=\sqrt{38}\)

\(a\le\sqrt{90-\left(5^2+6^2\right)}=\sqrt{29}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-4\right)\left(a-9\right)\le0\\\left(b-5\right)\left(b-8\right)\le0\\\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}13a\ge a^2+36\\13b\ge b^2+40\\13c\ge c^2+42\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+118=208\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge16\)

\(P_{min}=16\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(4;5;7\right)\)

30 tháng 1 2022

a>=4,b>=5,c>=6

=>a+b+c>=4+5+6>=15

hay P>=15

15 tháng 10 2017

bài 2

(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi

Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)

khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)

Tương tự \(b< ac,c< ab\)

Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)

mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên

\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)

Vậy bài toán được chứng minh

15 tháng 10 2017

3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)

và \(xy+yz+xz\ge1\)

ta phải chứng minh  có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng

\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)

Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử

\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)

Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)

Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)

\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó

\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)

mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.

11 tháng 10 2017

@Akai Haruma làm hộ mình

27 tháng 12 2016

ta có: \(\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}\)do \(a^2=bc\)

=>\(\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{b.c+c.c}{b.b+b.c}=\frac{c.\left(b+c\right)}{b.\left(b+c\right)}=\frac{c}{b}\)

vậy \(\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{c}{b}\)

\(\text{Ta có : }\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}\text{ do }a^2=bc\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{b.c+c.c}{b.b+b.c}=\frac{c.\left(b+c\right)}{b.\left(b+c\right)}=\frac{c}{b}\)

\(\text{Vậy }\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{c}{b}\)

2 tháng 5 2021

b, Ta có \(m=a+b+c\)

          \(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)