Cho a,b >0. a + b + ab = 3. CMR:
\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}\ge\dfrac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 1 2019
3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)
\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)
Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
HT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
Do \(abc=1\Rightarrow\) đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
\(VT=\dfrac{xz}{y\left(x+z\right)}+\dfrac{xy}{z\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{x\left(y+z\right)}=\dfrac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}+\dfrac{\left(xy\right)^2}{xyz\left(x+y\right)}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xyz\left(y+z\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2xyz\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{3xyz\left(x+y+z\right)}{2xyz\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 5 2018
Lời giải:
a)
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)
Ta có đpcm.
b) Áp dụng công thức của phần a ta có:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}\)
Tiếp tục áp dụng công thức phần a: \(\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}\)
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
\(4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
TS
4 tháng 5 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(A=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\)
\(A\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{3+ab+bc+ac}=\dfrac{9}{3+ab+bc+ac}\)
Mặt khác,theo hệ quả AM-GM: \(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le\dfrac{3^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
KK
20 tháng 5 2018
\(VT=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\)
Xét \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\dfrac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\dfrac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)
\(\Leftrightarrow VT=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3a}{4}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(VT+\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{a+b+c}{4}\left(đpcm\right)\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b=c=3\)
4 tháng 5 2018
Đầu tiên ta cm bđt:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)(tự cm)
Áp dụng ta có:
\(A=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\ge\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\)
Cần cm:\(ab+bc+ca\le3\)
Hay \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=>đpcm
BH
1
LA
11 tháng 2 2020
Rõ ràng ở bài này không thể dùng Svacxo trực tiếp.
\(\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2+ab}=\left(\frac{x}{ab}+\frac{3}{a^2+ab+b^2}\right)+\frac{1-x}{ab}\), với \(0\le x\le1\)
Ta có \(\frac{1-x}{ab}\ge\frac{4\left(1-x\right)}{\left(a+b\right)^2}=4\left(1-x\right)\) và
\(\frac{x}{ab}+\frac{3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2}{ab+\left(a^2+ab+b^2\right)}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+ab+b^2}\ge4\left(1-x\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2\)\(\forall0\le x\le1\)
Dấu "=" khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{x}}{ab}=\frac{\sqrt{3}}{a^2+ab+b^2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=\frac{1}{2}\\x=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy số thực x thích hợp để điều chỉnh là \(x=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+ab+b^2}\ge4\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{3}\right)^2=\frac{8}{3}+\frac{16}{3}=8\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{1}{1+ab}+\frac{a^2}{a+ab}+\frac{b^2}{b+ab}\geq \frac{(1+a+b)^2}{1+ab+a+ab+b+ab}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+1)^2}{a+b+1+3ab}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+1)^2}{a+b+1+3(3-a-b)}=\frac{(a+b+1)^2}{10-2(a+b)}\)
Theo giả thiết:
\(3=a+b+ab\Leftrightarrow 4=a+b+ab+1=(a+1)(b+1)\)
\(\leq \left (\frac{a+b+2}{2}\right)^2\) (theo BĐT AM-GM)
suy ra \(a+b+2\geq 4\Leftrightarrow a+b\geq 2\) (với \(a,b>0\) )
Do đó: \((a+b+1)^2\geq 9\) (1)
\(10-2(a+b)\leq 10-2.3=4; 10-2(a+b)=4+2ab>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{10-2(a+b)}\geq \frac{1}{6}\) (2)
Từ \((1);(2)\Rightarrow A\geq \frac{(a+b+1)^2}{10-2(a+b)}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1\)
Hong Ra On Cái đó là BĐT Cauchy này nè :
\(xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Áp dụng vào:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\dfrac{\left(a+b+1+1\right)^2}{4}=\left(\dfrac{a+b+2}{2}\right)^2\)