cho b2=ac. CMR : \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2c^2}}\ge\frac{2a}{c}\) ; \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\) ; \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2. \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc.ac}{ab}}=2c\) ; \(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2b\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
31 tháng 8 2017
B2:Áp dụng cô si ta có:\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Ta có \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+4\left(1\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)suy ra BĐT tương đương với \(a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}\ge\frac{17}{2}\)
Ta có \(a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\left(a+b\right)^2-2ab+\frac{\left(a+b\right)^2-2ab}{a^2b^2}\)Mà \(ab\le\frac{1}{4}\)
Nên \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2-2ab=1-2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\left(2\right)\\\frac{\left(a+b\right)^2-2ab}{a^2b^2}\ge\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}}=8\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng \(\left(2\right)vs\left(3\right)\)lại ta thu được \(đpcm\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
LP
1
8 tháng 3 2017
Ta có :
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{c}{d}\right)^2=\frac{ac}{bd}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+ac}{b^2+bd}=\frac{c^2-ac}{d^2-bd}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+ac}{c^2-ac}=\frac{b^2+bd}{d^2-bd}\) (đpcm)
20 tháng 10 2017
vì có 1 chút nhầm lẫn nên giờ mk mới ra mong bạn thứ lỗi
bài 1
\(\Leftrightarrow\frac{4a^4}{2a^3+2a^2b^2}+\frac{4b^4}{2b^3+2c^2b^2}+\frac{4c^4}{2c^3+2a^2c^2}\)
\(\ge\frac{\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)^2}{2a^3+2b^3+2c^3+2a^2b^2+2c^2b^2+2a^2c^2}\)
\(\ge\frac{36}{a^4+a^2+b^4+b^2+c^4+c^2+2a^2b^2+2c^2b^2+2a^2c^2}\)
\(=\frac{36}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+a^2+b^2+c^2}=3\ge a+b+c\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
KN
26 tháng 4 2020
Bài 2 là chuyên Bình Thuận, 2016-2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
\(\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Tương tự: \(\frac{yz}{y^2+zx+xy}\le\frac{xy\left(z^2+zx+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\);\(\frac{zx}{z^2+xy+yz}\le\frac{zx\left(x^2+xy+yz\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Cộng từng vế của 3 BĐT trên. ta được:
\(VT\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
LP
2
13 tháng 3 2017
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+ac}{c^2-ac}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(bk\right)\left(dk\right)}{\left(dk\right)^2-\left(bk\right)\left(dk\right)}=\frac{k^2\left(b^2+bd\right)}{k^2\left(d^2-bd\right)}=\frac{b^2+bd}{d^2-bd}\) (đpcm)
Vậy \(\frac{a^2+ac}{c^2-ac}=\frac{b^2+bd}{d^2-bd}\)
DD
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)\geq (a+b+c+d)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=\frac{2^2}{4}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xay ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Bài 2:
Bạn xem lại đề:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
\(16a^4+1\geq 2\sqrt{16a^4.1}=8a^2\Rightarrow \frac{a^2}{1+16a^4}\leq \frac{a^2}{8a^2}=\frac{1}{8}(1)\)
\(b^4+1\geq 2\sqrt{b^4.1}=2b^2\Rightarrow \frac{b^2}{1+b^4}\leq \frac{b^2}{2b^2}=\frac{1}{2}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{a^2}{1+16a^4}+\frac{b^2}{1+b^4}\leq \frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}\) chứ không phải $\frac{1}{4}$
Nếu bạn muốn kết quả là $\frac{1}{4}$ thì cần thay $b^4$ bằng $16b^4$ và làm tương tự như trên.
20 tháng 11 2017
Đặt A= abc(bc+a2)(ac+b2)(ab+c2)
Giả sử 1/a + /b + 1/c - (a+b)/(bc+a2) - (b+c)/(ac+b2) - (c+a)/(ab+c2) >=0
<=> (a4b4+b4c4+c4a4-a4b2c2-b4a2c2-c4a2b2)/A >= 0
<=> (2a4b4+2b4c4+2c4a4-2a4b2c2-2b4a2c2-2c4a2b2)/2A >= 0
<=> (a2b2-b2c2)2+(b2c2-c2a2)2+(c2a2-a2b2)2/2A >= 0 (đúng với mọi a,b,c)
20 tháng 11 2017
mk chỉ lm theo cách hiểu của mk thôi!nếu ko đúng thì thông cảm nha!
giả sử: \(a\ge b\ge c>0\)(ko mất tính tổng quát)
\(\Rightarrow a^2\ge ac\)\(\Leftrightarrow a^2+bc\ge ac+bc\) (vì b>0;c>0)
\(\Leftrightarrow a^2+bc\ge c\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{a^2+bc}\le\frac{1}{c}\) (vì a;b;c>0) (1)
c/m tương tự ta đc: \(\frac{b+c}{ac+b^2}\le\frac{1}{a};\) (2)
\(\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{b}\) (3)
từ (1),(2),(3)=>đpcm
HF
16 tháng 10 2019
\(\frac{a}{b^2+bc+c^2}+\frac{b}{c^2+ca+a^2}+\frac{c}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^2}{ca^2+abc+cb^2}\) (1)
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc}\)
Lại có: \(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc=\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)\)
Thay vào -> dpcm
b2 = ac
=> \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
=> \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)
=> \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\)
=> đpcm
\(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a.a+a.c}{a.c+c.c}=\frac{a.\left(a+c\right)}{c.\left(a+c\right)}=\frac{a}{c}\)