chứng minh tổng của phân số tối giản có mẫu khác nhau không thể là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
24 tháng 10 2016
Gọi 2 phân số đó là \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\) với \(\left(a;b\right)=1;\left(c;d\right)=1\)
Ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=x\left(x\in Z\right)\)
\(\frac{a}{b}.bd+\frac{c}{d}bd=xbd\)
\(\rightarrow ad+bc=xbd\)
\(\rightarrow\begin{cases}ad=xbd-bc=b\left(xd-c\right)\\bc=xbd-ad=d\left(xb-a\right)\end{cases}\)
Ta có : \(ad=b\left(xd-c\right)\rightarrow ad⋮b\)
Mà : \(\left(a;b\right)=1\) nên \(d⋮b\left(1\right)\)
Tương tự thì \(b⋮d\left(2\right)\)
Từ (1)(2) \(\Rightarrow b=d\) hoặc \(b=-d\)
-> Điều phải chứng minh .
Lời giải:
Gọi 2 phân số $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ ($a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$) là phân số tối giản có $b\neq d$
Vì 2 phân số tối giản nên $(a,b)=(c,d)=1$
Bây giờ phản chứng, giả sử tổng 2 phân số trên có thể là số nguyên
$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$
$\Rightarrow ad+bc\vdots bd$
$\Rightarrow ad+bc\vdots b$
$\Rightarrow ad\vdots b$
Mà $(a,b)=1$ neenn $d\vdots b(1)$
Tương tự: $ad+bc\vdots d$
$\Rightarrow bc\vdots d$
Mà $(c,d)=1$ nên $b\vdots d(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow b=d$ (trái giả thiết)
Vậy điều giả sử là sai. Ta có đpcm.