Cho x,y là 2 số dương: x + y = 1.
Tìm GTNN: M= ( x + \(\dfrac{1}{x}\))\(^2\) + (y +\(\dfrac{1}{y}\))\(^2\).
Giúp mình nha, gấp lắm ^^
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 9 2017
Lời giải:
Khai triển ta có:
\(M=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(M=\left(x^2y^2+\frac{1}{16^2x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}+2\geq 2\sqrt{\frac{1}{16^2}}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\Leftrightarrow M\geq \frac{17}{8}+\frac{255}{256x^2y^2}\) . Mà \(xy\leq \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow M\geq \frac{17}{8}+\frac{255}{256x^2y^2}\geq \frac{17}{8}+\frac{255}{256.\frac{1}{16}}=\frac{289}{16}\)
Vậy \(M_{\min}=\frac{289}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
19 tháng 3 2020
1. Ta có \(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=p^2\)
Mà b+a>b-a ; p là số nguyên tố
=> \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\\b-a=1\end{cases}}\)
=> \(\hept{\begin{cases}b=\frac{p^2+1}{2}\\a=\frac{p^2-1}{2}\end{cases}}\)
Nhận xét :+Số chính phương chia 8 luôn dư 0 hoặc 1 hoặc 4
Mà p là số nguyên tố
=> \(p^2\)chia 8 dư 1
=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮4\)=> \(a⋮4\)(1)
+Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3
=> \(p^2\)chia 3 dư 1
=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮3\)=> \(a⋮3\)(2)
Từ (1);(2)=> \(a⋮12\)
Ta có \(2\left(p+a+1\right)=2\left(p+\frac{p^2-1}{2}+1\right)=p^2+1+2p=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương(ĐPCM)
31 tháng 8 2018
1) ta có: \(x:3=y.15\Rightarrow x\cdot\frac{1}{3}=y.15\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{\frac{1}{3}}\)
ADTCDTSBN
...
2) bn ghi thiếu đề r
3) ta có: \(3x=7y\Rightarrow\frac{x}{7}=\frac{y}{3}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=7k\\y=3k\end{cases}}\)
mà xy = 189 => 7k.3k = 189
21 k2 = 189
k2 = 9 = 32 = (-3)2 => k = 3 hoặc k = - 3
TH1: k = 3
x = 7.3 => x = 21
y = 3.3 => y = 9
...
31 tháng 8 2018
4) ta có: \(4x=5y\Rightarrow\frac{x}{5}=\frac{y}{4}\Rightarrow\frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{16}\)
ADTCDTSBN
...
\(M=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\)
ta có \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2=1-2xy\) theo BĐT Cô si: \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow2xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow1-2xy\ge1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng tiếp BĐT Cô Si :\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+8+4=\dfrac{25}{2}\)
dấu = xảy ra tại \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
camon