Question

[Vũ Thu Trang]

Giúp mình với. Mình ko bt làm

Answer 1

[Akai Haruma]

a.

Lấy $x_1\neq x_2$ là $x_1,x_2\in (1;+\infty)$

Xét \(A=\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}\)

\(y(x_1)-y(x_2)=\frac{2x_1^2-x_1-3}{x_1-1}-\frac{2x_2^2-x_2-3}{x_2-1}=2(x_1-x_2)-(\frac{2}{x_1-1}-\frac{2}{x_2-1})\)

\(=2(x_1-x_2)+\frac{2(x_1-x_2)}{(x_1-1)(x_2-1)}=2(x_1-x_2)[1+\frac{1}{(x_1-1)(x_2-1)}]\)

\(\Rightarrow A=2[1+\frac{1}{(x_1-1)(x_2-1)}]>0\) với $x_1,x_2>1$

Vậy hàm số đồng biến trên TXĐ.

c.

Lấy $x_1\neq x_2\in [-3;+\infty)$

Xét $A=\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}$

\(=\frac{(\sqrt{x_1+5}-\sqrt{x_1+3})-(\sqrt{x_2+5}-\sqrt{x_2+3})}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{(\sqrt{x_1+5}-\sqrt{x_2+5})-(\sqrt{x_1+3}-\sqrt{x_2+3})}{x_1-x_2}=\frac{1}{\sqrt{x_1+5}+\sqrt{x_2+5}}-\frac{1}{\sqrt{x_1+3}-\sqrt{x_2}+3}< 0\)

Do đó hàm nghịch biến trên TXĐ.

Answer 2

[Akai Haruma]

d. Lấy $x_1\neq x_2\in (-\infty; 0)$

Xét \(A=\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{x_1^2+1}-\sqrt{x_2^2+1}}{x_1-x_2}=\frac{x_1^2-x_2^2}{(\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1})(x_1-x_2)}\)

\(=\frac{x_1+x_2}{\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}}<0\) với mọi $x_1,x_2< 0$

Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 0)$

e. Đặt $\sqrt{x+2}=t$ thì ta cần cm hàm:

$y=\frac{2t^2-5}{t}$ đồng biến trên $(0; \sqrt{2})$

Lấy $t_1\neq t_2\in (0;\sqrt{2})$

Xét \(A=\frac{y(t_1)-y(t_2)}{t_1-t_2}=\frac{2t_1-\frac{5}{t_1}-(2t_2-\frac{5}{t_2})}{t_1-t_2}=\frac{2(t_1-t_2)+\frac{5(t_1-t_2)}{t_1t_2}}{t_1-t_2}=2+\frac{5}{t_1t_2}>0\) với mọi $t\in (0;\sqrt{2})$

Vậy hàm số đồng biến.