Question

[Nguyễn Như Quỳnh]

Cho x+y+z=0.CM:\(2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

Answer 1

[T.Thùy Ninh]

Từ giả thiết: \(x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=\left(-c\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-c^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\) (1)

Nhận cả 2 vế của (1) với \(x^2+y^2+z^2\) ta được:

\(3xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)=x^5+x^3\left(y^2+z^2\right)+y^5+y^3\left(x^2+z^2\right)+z^5+z^3\left(x^2+y^2\right)\left(2\right)\)Do x + y + z =0 \(\Rightarrow y+z=-x\Rightarrow\left(y+z\right)^2=x^2\Leftrightarrow y^2+z^2=x^2-2yz\)Tương tự ta có:

\(x^2+y^2=z^2-2xy;x^2+z^2=y^2-2xz\)

Thay vào (2) ta được:

\(3xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)=x^5+y^5+z^5+x^3\left(x^2-2yz\right)+y^3\left(y^2-2xz\right)+z^3\left(z^2-2xy\right)\)\(=2\left(x^5+y^5+z^5\right)-2xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(đpcm\right)\)