Chứng minh rằng \(5a^2+15ab-b^2⋮49\Leftrightarrow3a+b⋮7\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
0K
2
23 tháng 7 2017
Nếu \(5a^2+15ab-b^2⋮49\)
\(\Leftrightarrow5a^2+15ab-b^2⋮7.\left(1\right)\)
Mặt khác lại có
\(\left(5a^2+15ab-b^2\right)+\left(3a+b\right)^2=7a\left(2a+3b\right)⋮7.\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\left(3a+b\right)^2⋮7\Rightarrow3a+b⋮7\)(vì 7 là số nguyên tố)
Nếu \(3a+b⋮7\),ta có
\(\left(3a+b\right)+2\left(2a+3b\right)=7\left(a+b\right)⋮7\)
\(\Rightarrow2\left(2a+3b\right)⋮7\Rightarrow2a+3b⋮7\)(vì(2,7)=1).
Suy ra \(\left(5a^2+15ab-b^2\right)+\left(3a+b\right)^2\)
=\(7a\left(2a+3b\right)⋮49.\left(3\right)\)
Vì \(3a+b⋮7\)nên \(\left(3a+b\right)^2⋮49.\left(4\right)\)
Từ (3)và(4) suy ra \(5a^2+15ab-b^2⋮49\)
Vậy \(5a^2+15ab-b^2⋮49\Leftrightarrow3a+b⋮7\)
QN
0
NT
0
NT
0
E
3
18 tháng 3 2020
Nếu \(5a^2+15ab-b^2⋮49\)
\(\Rightarrow5a^2+15ab-b^2⋮7\left(1\right)\)
Mặt khác lại có:
\(\left(5a^2+15ab-b^2\right)+\left(3a+b\right)^2\)
\(=7a\cdot\left(2a+3b\right)⋮7\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\left(3a+b\right)^2⋮7\Rightarrow3a+b⋮7\)
Nếu \(3a+b⋮7\) ta có:
\(\left(3a+b\right)+2\cdot\left(2a+3b\right)=7\cdot\left(a+b\right)⋮7\)
\(\Rightarrow2\cdot\left(2a+3b\right)⋮7\Rightarrow2a+3b⋮7\)
\(\Rightarrow\left(5a^2+15ab-b^2\right)+\left(3a+b\right)^2\)
\(=7a\cdot\left(2a+3b\right)⋮49\left(3\right)\)
Vì \(3a+b⋮7\) nên \(\left(3a+b\right)^2⋮49\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra:
\(5a^2+15ab-b^2⋮49\)
\(\Leftrightarrow3a+b⋮7\)
25 tháng 8 2019
1b/
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\sqrt{\frac{b+c}{a}}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{\frac{a+b+c}{a}}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự:
\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\); \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế ta được :
\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" không xảy ra nên \(VT>2\).
2a/ Chắc là tính GT của \(x+y\).
\(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x^2-2013\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)
\(\Leftrightarrow-2013\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+2013}=\sqrt{x^2+2013}-x\)
Do vai trò \(x,y\) là như nhau nên thiết lập tương tự ta có :
\(x+\sqrt{x^2+2013}=\sqrt{y^2+2013}-y\)
Cộng theo vế 2 pt ta được :
\(x+y+\sqrt{x^2+2013}+\sqrt{y^2+2013}=\sqrt{x^2+2013}+\sqrt{y^2+2013}-x-y\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\)
Vậy....
25 tháng 8 2019
2b/
Đặt \(A=5a^2+15ab-b^2\) và \(B=3a+b\)
Ta có \(B^2=\left(3a+b\right)^2=9a^2+6ab+b^2\)
Lấy \(A+B^2=5a^2+15a-b^2+9a^2+6ab+b^2\)
\(A+B^2=14a^2+21ab\)
\(A+B^2=7\left(2a+3ab\right)⋮7\)
Mà \(A⋮7\) ( vì \(A⋮49\) ) nên \(B^2⋮7\)
Vì 7 nguyên tố nên \(B⋮7\) ( đpcm )
NH
0
*Nếu a\(⋮\)49 hoặc b\(⋮\)49 => dpcm (*)
* Ta xét Nếu a\(⋮̸\)49 hoặc b\(⋮̸\)49
+ Nếu \(3a+b⋮7\Rightarrow\left(3a+b\right)^2⋮49.\Leftrightarrow A=9a^2+6ab+b^2⋮49\)
B=\(5a^2+15ab-b^2\)
A + B =14a2 +21ab = 7a(2a+3b) = 7a(9a+3b-7a) =7.3(3a+b) - 49a2.\(⋮\)49 vì 3a+b \(⋮\)7.
A\(⋮\)49 và A+B\(⋮\)49 => B=\(5a^2+15ab-b^2\)\(⋮\)49 (1)
+Nếu B= \(5a^2+15ab-b^2\)\(⋮\)49 => 45a2 +15ab+(9a2-b2)-49a2\(⋮\)49
=> 15a(3a+b)+(3a+b)(3a-b)-49a2\(⋮\)49
=>(3a+b)18a-49a2 \(⋮\)49 => 3a+b\(⋮\)49 hay 3a+b \(⋮\)7 (2)
(*)(1)(2) => dpcm.