Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = (m + 1)x3 - 3(m+1)x2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
đáp án:
Hàm số đã cho xác định trên D = R.
Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x2 - 6(m + 1)x + 2m
+ Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1
+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2]
Theo Viét ta có
+ Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0
Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét hàm số y = 2 x 2 + 2 m x + m - 1
y' = 4x + 2m = 2(2x + m)
y' = 0 ⇒ x = -m/2
Ta có bảng xét biến thiên :
Từ bảng biến thiên ta thấy :
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞)
- Hàm số có cực trị trên khoảng (-1; +∞)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Tập xác định: D = R \ {m}
Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( - ∞ ; m), (m; + ∞ ) khi và chỉ khi:
⇔ − m 2 + 4 > 0
⇔ m 2 < 4 ⇔ −2 < m < 2
c) Tập xác định: D = R
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:
y′ = −3 x 2 + 2mx – 3 ≤ 0
⇔ y′ = m 2 – 9 ≤ 0
⇔ m 2 ≤ 9 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chọn D.
Tập xác định: D = ℝ
Ta có
Xét m = 1, ta có y' = -3 < 0 ∀ x ∈ ℝ nên nghịch biến trên tập xác định.
Xét m ≠ 1 Để hàm số trên nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi
Vậy với - 2 7 ≤ m ≤ 1 thì hàm số y = ( m - 1 ) x 3 + ( m - 1 ) x 2 - ( 2 m + 1 ) + 5 nghịch biến trên tập xác định.
\(f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^3-3\left(m+1\right)x^2+2mx+4\)
\(f'\left(x\right)=3\left(m+1\right)x^2-6\left(m+1\right)x+2m\)
- \(m+1=0\Leftrightarrow m=-1\):
\(f\left(x\right)=-2m+4\)không thỏa.
- \(m+1>0\Leftrightarrow m>-1\):
\(f\left(x\right)\)là hàm số bậc \(3\)có hệ số cao nhất lớn hơn \(0\)nên hiển nhiên thỏa mãn.
- \(m+1< 0\Leftrightarrow m< -1\):
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow3\left(m+1\right)x^2-6\left(m+1\right)x+2m=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(m+1\right)\left(x^2-2x+1\right)=m+3\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=\frac{m+3}{3\left(m+1\right)}\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\hept{\begin{cases}m+3< 0\\m< -1\end{cases}}\Leftrightarrow m< -3\).
\(\hept{\begin{cases}x_1=\sqrt{\frac{m+3}{3\left(m+1\right)}}+1\\x_2=-\sqrt{\frac{m+3}{3\left(m+1\right)}}+1\end{cases}}\)
\(f\left(x\right)\)đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn \(1\)do đó
\(x_1-x_2\ge1\Leftrightarrow2\sqrt{\frac{m+3}{3\left(m+1\right)}}\ge1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m\le-9\\m>-1\end{cases}}\)
kết hợp điều kiện suy ra \(m\le-9\).
Vậy \(m\le-9\)hoặc \(m>-1\)thỏa mãn ycbt.