Question

[ank viet]

1.Cho x, y là các số thực không âm . Tìm Max của \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\)

2.cho a,b,c >0 thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\).CMR \(abc\le\frac{1}{8}\)

3.Giải phương trình : \(x^3-4\sqrt[3]{4x-3}+3=0\)

4.Tìm x,y thỏa mãn \(5x-2\sqrt{x}\left(2+y\right)+y^2+1=0\)

5.Giải phương trình \(\left(2x^3-3x+1\right)\left(2x^2+5x+1\right)=9x^2\)

6.cho các số dương a , b , c thỏa mãn a+b+c = 4. CMR \(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>2\sqrt{2}\)

7. Tìm Max của S = \(5x^2+9y^2-12xy+24x-48y+2016\)

8. Giải phương trình \(4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14\)

Answer 1

[Triệu Tuyên Nhâm]

2) Do \(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=2\\\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+1}=2-\left(\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)

=\(\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

\(\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\) \(\ge\)\(2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Tương tự ta được

\(\dfrac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ca}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}\)

\(\dfrac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Nhân vế theo vế của 3 BĐT cùng chiều ta được

\(\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)\(\ge\dfrac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)