K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TN
Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\) với a,b,c > 0
1
Những câu hỏi liên quan
T
18 tháng 1 2021
Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\)
\(=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{2c}{\sqrt{2c\left(a+b\right)}}\)
\(\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{4c}{a+b+2c}=\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+2c\right)}\ge0\)
(đúng hiển nhiên)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1 2021
Em xem lại đoạn:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{4c}{a+b+2c}=\frac{(a-b)^2(a+b+c)}{(b+c)(c+a)(a+b+2c)}\) bị nhầm rồi nè.
14 tháng 8 2018
Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân vế theo vế ta được :
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)
TM
Cho a>0,b>0,c>0. Chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge2\)
3
KK
27 tháng 3 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
25 tháng 7 2018
Ta có: BĐT\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2a-\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{2b-\left(b+c\right)}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{2c-\left(c+a\right)}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-a+a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)+\dfrac{a-c}{2}\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (đúng)
Vậy BĐT luôn đúng với \(a\ge b\ge c>0\)
\(\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{a+b+2c}\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{a+b+2c}-2\)(*)
Lại có: theo AM-GM:\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2c}.1}\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{a+b+2c}{2c}=\dfrac{a+b+2c}{4c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge\dfrac{4c}{a+b+2c}\)(**)
từ (*) và (**),ta có:
\(VT\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)+4c}{a+b+2c}-2=\dfrac{4\left(a+b+2c\right)}{a+b+2c}-2=2\)(ĐpcM)
Dấu = xảy ra khi a=b=c>0
wow thánh AM-GM cho e xin brain+chữ kí :v