Chứng minh: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\) với a, b, c>0.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 8 2017
BDT
\(x+\dfrac{1}{x}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+2\ge2\)
nhân PP vào là ra
\(\left(a+b+c\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3+2+2+2=9\)
T
12 tháng 8 2017
Theo BĐT Cauchy:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
PA
17 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)
\(\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
17 tháng 7 2017
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{9\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)}=9\)
Dấu " = " khi a = b = c
TA
2 tháng 2 2018
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
=> (a+b).\(\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\left(a+b\right).\dfrac{4}{a+b}=4\left(dpcm\right)\)
b)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)
=>\(\left(a+b+c\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{a+b+c}=9\left(dpcm\right)\)
15 tháng 5 2017
Giải:
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta được:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
15 tháng 5 2017
Nếu đề là \(a,b,c\ge0\) thì làm như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
\(\Rightarrowđpcm\)
15 tháng 8 2023
a,b,c là các số dương nên \(\left(a+b+c\right)>=3\cdot\sqrt[3]{abc}\)
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)>=3\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{c}}\)
Do đó: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)>=3\cdot\sqrt[3]{abc}\cdot3\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{c}}=9\cdot\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c\cdot\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{c}}=9\)
23 tháng 9 2017
a)Theo bất đẳng thức cauchy:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}.\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\)
Ta có điều phải chứng minh
b)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{9}{a+b+c}.\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(a=b=c\)
Ta có điều phải chứng minh
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 3 2022
\(ab+1\le b\Rightarrow a+\dfrac{1}{b}\le1\)
Đặt \(\left(a;\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y\le1\)
\(P=x+\dfrac{1}{x^2}+y+\dfrac{1}{y^2}=\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{16x^2}\right)+\left(\dfrac{y}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{64x^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{64y^2}}+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(P\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{32}.\left(\dfrac{4}{1}\right)^2=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\) hay \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
ND
23 tháng 7 2018
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)
\(=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+3\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}}=2\)
Suy ra:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+3\ge2+2+2+3=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
23 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ≥ \(\dfrac{9}{a+b+c}\)
⇔ \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{≥}\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{a+b+c}\)
⇔ \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{≥}9\)
\("="\text{⇔}a=b=c\)
Cách 2:
Ta có:
\(A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(=a\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+b\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\\\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\\\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2\end{matrix}\right.\)
=> \(A\ge9\)
P/s: Nhìn hơi dài nhưng trình bày ra thì không quá dài đâu! Ở đây mình làm hơi cẩn thận ::)))
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi:
\(\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
Vậy \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\left(đpcm\right)\)
P/s: Ủa, đề này lớp 8 à? Sao cô mình lại cho bọn mình làm cái này nhỉ? WTF?????