cho ba số a,b,c thỏa mãn :\(\left\{\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=1\\a^2+b^2+c^2=1\end{matrix}\right.\)
hãy tính tổng S= a+b2+c2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HN
24 tháng 12 2021
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+c^2a+ca^2+b^2c+bc^2+2abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)c+ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
=> Hoặc a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0
=> Hoặc a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
Ko mất tổng quát, g/s a=-b
a) Ta có: vì a=-b thay vào ta được:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{c^3}\)
\(\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{-b^3+b^3+c^3}=\frac{1}{c^3}\)
=> đpcm
b) Ta có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow-b+b+c=1\Rightarrow c=1\)
=> \(P=-\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{c^{2021}}=\frac{1}{1^{2021}}=1\)
5 tháng 1 2021
3: Ta có \(\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n}-1\).
Do đó \(\dfrac{1}{u_{100}}=\dfrac{1}{u_{99}}-1=\dfrac{1}{u_{98}}-2=...=\dfrac{1}{u_1}-99=\dfrac{1}{-2}-99=\dfrac{-199}{2}\Rightarrow u_{100}=\dfrac{-2}{199}\).
T
20 tháng 8 2023
Có: \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=-1\) (do \(a^2+b^2+c^2=1\) )
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=-\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2+2ab.bc+2bc.ca+2ca.ab=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow \left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2=\dfrac{1}{4}\) (do \(a+b+c=0\))
Lại có: \(M=a^4+b^4+c^4\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2 +b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=1-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\right]\) (do \(a^2+b^2+c^2=1\))
\(=1-2.\dfrac{1}{4}\)(do \(\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2=\dfrac{1}{4}\))
\(=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(M=\dfrac{1}{2}\)
25 tháng 1 2021
2: Điểm rơi... đẹp!
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+4\ge4b\\c^2+9\ge6c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+14\ge2\left(a+2b+3c\right)=28\).
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge14\).
Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2; c = 3.
25 tháng 1 2021
1: Ta có \(y^2\ge6-x+x-2=4\Rightarrow y\ge2\).
Đẳng thức xảy ra khi x = 6 hoặc x = 2
\(y^2\le2\left(6-x+x-2\right)=8\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = 4.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 10 2021
Lời giải:
$xy+yz+xz=\frac{1}{2}[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]=\frac{1}{2}(a^2-b^2)$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{c}$
$\Rightarrow xyz=c(xy+yz+xz)=\frac{1}{2}c(a^2-b^2)$
Khi đó:
$P=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)$
$=(x+y+z)^3-3[(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz]=(x+y+z)^3-3(xy+yz+xz)(x+y+z)+3xyz$
$=a^3-\frac{3}{2}a(a^2-b^2)+\frac{3}{2}c(a^2-b^2)$
T
11 tháng 12 2019
3 g) \(xyz=x+y+z+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\Sigma_{cyc}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\) .Đặt \(\frac{1}{x+1}=a;\frac{1}{y+1}=b;\frac{1}{z+1}=c\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\) vì a + b + c = 1.
Khi đó \(P=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2a^2+\left(b+c\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{9}+\frac{4}{9}}.\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\left(\sqrt{\frac{2}{9}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^2\right]\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]}}\)
\(\le\sqrt{\frac{2}{3}}\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}c\right]^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=2\)
T
11 tháng 12 2019
3c) Nhìn quen quen, chả biết có lời giải ở đâu hay chưa nhưng vẫn làm:D (Em ko quan tâm nha!)
\(P=3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{xy^2+xy^2+1}\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{\left(xy^2\right)^2}}=3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(xy^2\right)}\)
\(\ge3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\frac{x+y+y}{3}=3-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=3-2=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Từ \(a^2+b^2+c^2=1\) ta suy ra được
\(\left\{\begin{matrix}a^2\le1\\b^2\le1\\c^2\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-1\le a\le1\\-1\le b\le1\\-1\le c\le1\end{matrix}\right.\) (1)
Lấy PT đầu trừ PT sau theo vế được
\(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)=0\)
Từ (1) suy ra \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)\le0\)
Để đẳng thức xảy ra thì (a,b,c) = (0,0,1) hoặc hoán vị vòng.
Tính $a+b+c$ chứ?