Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=xyz(x+y)(y+z)(z+x), với x,y,z là các số thực dương và x+y+z=2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 4 2022
\(\dfrac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=\dfrac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
XO
29 tháng 1 2022
Có \(P=\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}\)
\(=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}=\dfrac{4}{y\left(4-y\right)}=\dfrac{4}{-y^2+4y}=\dfrac{4}{-\left(y-2\right)^2+4}\ge1\)
"=" xảy ra khi y = 2 ; x = 1 ; z = 1
7 tháng 9 2021
\(4=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{64}{27}\)(BĐT cauchy)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\le \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{(4-z)^2}{4}$
$\Rightarrow H\leq \frac{z(4-z)^2}{4}$
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
$z(4-z)\leq \frac{(z+4-z)^2}{4}=4$
$4-z\leq 2$ do $z\geq 2$
$\Rightarrow \frac{z(4-z)^2}{4}\leq \frac{4.2}{4}=2$
Hay $H\leq 2$
Vậy $H_{\max}=2$ khi $(x,y,z)=(1,1,2)$
LM
13 tháng 5 2017
Ta chứng minh được các bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương và bất đẳng thức Cô-si:
\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{xyz}{xy+yz+zx}\le\frac{\sqrt[3]{xyz}}{3}\)
Mà \(\sqrt[3]{xyz}\le\frac{x+y+z}{3}\le\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}\)
Vậy \(A\le\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}.\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{x^2+y^2+z^2}\)
\(A\le\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}\)
Áp dụng hệ quả BĐT thức Côsi với 3 số : (a+b+c )3 > 27abc ta có: xyz < = (x+y+z)3/27 ; (x+y)(y+z)(z+x) < = ( x+y+z+x+y+z)/27
==> M < = (23/27)(43/27)=512/729
==> M max = 512/729 <=> x = y = z = 2/3