a,b,c>0: a+b+c=2. CMR a/căn(4a+3bc) + b/căn(4b+3ac) + c/căn(4c+3ab) <=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 8 2021
Ta có:
\(\left(\sqrt{a}.\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{4a+3bc}}+\sqrt{b}\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{4b+3ac}}+\sqrt{c}\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{4c+3ab}}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{4a+3bc}+\dfrac{b}{4b+3ac}+\dfrac{c}{4c+3ab}\right)\)
\(=2\left(\dfrac{a}{4a+3bc}+\dfrac{b}{4b+3ac}+\dfrac{c}{4c+3ab}\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a}{4a+3bc}+\dfrac{b}{4b+3ac}+\dfrac{c}{4c+3ab}\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4a}{4a+3bc}+\dfrac{4b}{4b+3ac}+\dfrac{4c}{4c+3ab}\le2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3bc}{4a+3bc}+\dfrac{3ac}{4b+3ac}+\dfrac{3ab}{4c+3ab}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{4a+3bc}+\dfrac{ac}{4b+3ac}+\dfrac{ab}{4c+3ab}\ge\dfrac{1}{3}\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\dfrac{\left(bc\right)^2}{4abc+3\left(bc\right)^2}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{4abc+3\left(ac\right)^2}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{4abc+3\left(ab\right)^2}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab\right)^2+3\left(bc\right)^2+3\left(ca\right)^2+12abc}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab\right)^2+3\left(bc\right)^2+3\left(ca\right)^2+6abc\left(a+b+c\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)^2}=\dfrac{1}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=...\)
DM
2
15 tháng 12 2017
Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(\sqrt{4a+1}\le\frac{4a+1+1}{2}=2a+1\)
\(\sqrt{4b+1}\le\frac{4b+1+1}{2}=2b+1\)
\(\sqrt{4c+1}\le\frac{4c+1+1}{2}=2c+1\)
\(\Rightarrow\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4b+1}\le2\left(a+b+c\right)+3=5\)(đpcm)
15 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left[\left(\sqrt{4a+1}\right)^2+\left(\sqrt{4b+1}\right)^2+\left(\sqrt{4c+1}\right)^2\right]\)
\(\ge\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^2\le3\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow VT^2\le21\)
\(\Rightarrow VT^2< 25\)
\(\Rightarrow VT< 5\)
Vậy \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4b+1}< 5\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 5 2020
\(\Leftrightarrow\frac{4a}{4a+3bc}+\frac{4b}{4b+3ac}+\frac{4c}{4c+3ab}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{4a+3bc}+\frac{ac}{4b+3ac}+\frac{ab}{4c+3ab}\ge\frac{1}{3}\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\frac{b^2c^2}{4abc+3b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{4abc+3a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{4abc+3a^2b^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+12abc}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(a+b+c\right)abc}{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4abc\right)}\)
\(VT\ge\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4abc}{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4abc\right)}=\frac{1}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
N
17 tháng 12 2018
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(VT^2\le\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{4a+3bc}+\dfrac{b}{4b+3ac}+\dfrac{c}{4c+3ab}\right)\)
Ta đi chứng minh \(\sum\dfrac{a}{4a+3bc}\le\dfrac{1}{2}\). Qui đồng và chuyển vế ta thu được:
\(abc\left[18\left(a^2+b^2+c^2\right)+27abc-32\right]\ge0\) (*)
Xét \(18\sum a^2+27abc-32=9\left(\sum a^2\right)\left(a+b+c\right)+27abc-4\left(a+b+c\right)^3\)
\(=5\sum a^3+3abc-3\sum ab\left(a+b\right)\)
\(=\sum2\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left[a^3+b^3+c^3+3abc-\sum ab\left(a+b\right)\right]\ge0\)
Do \(\sum a^3+3abc\ge\sum ab\left(a+b\right)\) ( BĐT Schur Bậc 3)
Do đó (*) luôn đúng.Dấu = xảy ra tại 2 điểm là a=b=c=2/3 hoặc a=0,b=c=1 cùng các hoán vị tương ứng.
DL
0