Question

[Nguyễn Anh Khoa]

Tìm n là số tự nhiên để \(n^4+4^n\) al2 số nguyên tố

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Nếu $n$ chẵn thì \(n^4+4^n\) chẵn. Hiển nhiên \(n\neq 0\) nên \(n^4+4^n>2\). Do đó \(n^4+4^n\) không thể là số nguyên tố

Nếu $n$ lẻ:

\(n^4+4^n=(n^2+2^n)^2-2^{n+1}n^2=(n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n)(n^2+2^n+2^{\frac{n+1}{2}}n)\)

Do $n$ lẻ nên \(\frac{n+1}{2}\in\mathbb{N}\). Do đó mỗi thừa số đều là số nguyên dương.

Vì \(n^4+4^n\in\mathbb{P}\Rightarrow \) một trong hai thừa số trên phải bằng $1$. Hiển nhiên

\(n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n=1\)

Bằng quy nạp, ta sẽ CM rằng \(2^\frac{n-1}{2}>n\) với \(n\geq 7\) $(1)$

Thật vậy:

Với \(n=7,8,...\) điều trên đúng. Giả sử nó đúng với \(n=k\) tức là \(2^\frac{k-1}{2}>k\)

Khi đó ta có \(2^{\frac{k+1-1}{2}}=2^{\frac{k-1}{2}}.2^{\frac{1}{2}}>2^{\frac{1}{2}}k>k+1\) với mọi \(k\geq 7\)

Do đó ta có $(1)$ Suy ra với \(n\geq 7 \Rightarrow n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n>n^2>1\) ( vô lý)

\(\Rightarrow n<7\). Thử \(n=1,3,5\) có \(n=1\) thỏa mãn. Khi đó \(n^4+4^n=5\in\mathbb{P}\)

Vậy $n=1$

\(\)

Answer 2

[A Lan]

có cách khác ngắn hơn không bạn?