Cho a,b,c\(\in\)R thỏa mãn \(b^2\)=a.c
Chứng minh \(\frac{a}{c}=\left(\frac{a+2012b}{b+2012c}\right)^2\)
giải chi tiết giúp mình nhanh nhanh nha
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Em ghi vội nó hơi sai
\(\sqrt{2012a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{\left(c-a\right)^2}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le2012\sqrt{2}\)
\(ac=bb=>\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{2012b}{2012c}\)
áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{2012b}{2012c}=\frac{a+2012b}{b+2012c}\)
\(=>\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\)
vì \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=>\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a.b}{b.c}=\frac{a}{c}\)
\(=>\frac{a}{c}=\frac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\left(dpcm\right)\)
\(\sqrt{2012a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}=\sqrt{2a\left(a+b+c\right)+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{4a^2+4ab+4ac+b^2+c^2-2bc}{2}}=\sqrt{\frac{\left(2a+b+c\right)^2-4bc}{2}}\le\sqrt{\frac{\left(2a+b+c\right)^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2a+b+c\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{2012b+\frac{\left(c-a\right)^2}{2}}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+2b+c\right)\) ; \(\sqrt{2012c+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b+2c\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(4a+4b+4c\right)=2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)=2012\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1006;0;0\right)\) và hoán vị
Vì \(b^2=ac\) ta suy ra \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\). Đặt \(a=kb\) và \(b=kc\).
Khi đó \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{k\left(kc\right)}{c}=k^2\). (1)
Từ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{2012b}{2012c}=\dfrac{a+2012b}{b+2012c}=k\), suy ra \(k^2=\dfrac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(k^2=\dfrac{a}{c}=\dfrac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\) (đpcm)
\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{2012b}{2012c}=\frac{a+2012b}{b+2012c}\)
ta lại có:\(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}=\frac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\)
\(=\frac{a}{c}=\frac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}\)(đpcm)
ĐỀ SAI NHA BẠN
Bài 1:
Ta có: \(\frac{\left(a+2012b\right)^2}{\left(b+2012c\right)^2}=\frac{a^2+2.2012.ab+2012^2.b^2}{b^2+2.2012.bc+2012^2.c^2}=\frac{a^2+2.2012.ab+2012^2.ac}{ac+2.2012.bc+2012^2.c^2}=\frac{a\left(a+2.2012.b+2012^2.c\right)}{c\left(a+2.2012.b+2012^2.c\right)}=\frac{a}{c}\)
Vậy...
Bài 2:
\(\frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}\Rightarrow\frac{a+2b+c}{x}=\frac{2a+b-c}{y}=\frac{4a-4b+c}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{a+2b+c}{x}=\frac{2\left(2a+b-c\right)}{2y}=\frac{4a-4b+c}{z}=\frac{a+2b+c+4a+2b-2c+4a-4b+c}{x+2y+z}=\frac{a}{x+2y+z}\)(1)
\(\frac{2\left(a+2b+c\right)}{2x}=\frac{2a+b-c}{y}=\frac{4a-4b+c}{z}=\frac{2a+4b+2c+2a+b-c-4a+4b-c}{2x+y-z}=\frac{b}{2x+y-z}\) (2)
\(\frac{4\left(a+2b+c\right)}{4x}=\frac{4\left(2a+b-c\right)}{4y}=\frac{4a-4b+c}{z}=\frac{4a+8b+c-8a-4b+c+4a-4b+c}{4x-4y+z}=\frac{c}{4x-4y+z}\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{a}{x+2y+z}=\frac{b}{2x+y-z}=\frac{c}{4x-4y+z}\)
bạn trên nhầm -4b thành +4b ở bài 2 ở phần (1) nha bạn, nhưng mình cũng cảm ơn
\(b^2=ac\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\), ta có: \(a=bk;b=ck\)
\(\frac{a}{c}=\frac{bk}{c}=\frac{ck\times k}{c}=k^2\) (1)
\(\left(\frac{a+2012b}{b+2012c}\right)^2=\left(\frac{bk+2012b}{ck+2012}\right)^2=\left(\frac{b\left(k+2012\right)}{c\left(k+2012\right)}\right)^2=\left(\frac{b}{c}\right)^2=k^2\) (2)
Từ (1) và (2)
=> \(\frac{a}{c}=\left(\frac{a+2012b}{b+2012c}\right)^2\left(\text{đ}pcm\right)\)
mk cũng đang cần. thanks