Question

[Nguyễn Ngọc Phượng]

CMR với n thuộc N thì

\(A=\left(2n\right)^3+\left(3n^2\right)+n\) chia hết cho 6 .

Answer 1

[Võ Đông Anh Tuấn]

\(A=\left(2n\right)^3+\left(3n^2\right)+n\)

\(A=n\left(2n^2+3n+1\right)\)

\(A=n\left[\left(n^2+2n+1\right)+\left(n^2+n\right)\right]\)

\(A=n\left[\left(n+1\right)^2+n\left(n+1\right)\right]\)

\(A=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

Ta có : A luôn chia hết cho 2 vì n ( n + 1) chia hết cho 2
Khi n = 3k suy ra n chia hết cho 3 
Suy ra A chia hết cho 3
Khi n = 3k + 1 
Khi đó :2n + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1) chia hết cho 3 
Khi n = 3k + 2
Khi đó n + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3
Suy ra: A chia hết cho 2 và A chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 6