cho tam giác ABC vuông tại a kẻ đường cao AH. Từ H kẻ HD vuông AC, HE vuông AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB,HC. Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vuông
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi gđ của ED và HA là O . Ta có:
tam giác MEH cân => góc HEM=MHE
tam giác OEH cân => góc OEH=OHE
mà góc OHE+MHE=90 độ
=> góc HEM+OEH=90 độ
=> EM vuông góc với ED
DN vuông góc với ED => DEMN là hình thang vuông
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1.Giải:
a. Vì tam giác ABC vuông tại A và AM = \(\frac{1}{2}\)BC
=> AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
=> M là trung điểm của cạnh BC
=> AM = BM = \(\frac{1}{2}\)BC
Vì AM = BM => Tam giác ABM cân tại M
b. Vì N là trung điểm của AB
=> MN là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của tam giác ABM
Mà tam giác ABM cân tại M ( câu a )
=> MN đồng thời là đường cao xuất phát từ M của tam giác ABM
=> \(MN\perp AB\)
Do đó: MN//AC (cùng vuông góc với AB)
=> MNAC là hình thang
Mặt khác: \(\widehat{NAC}\)= \(^{90^0}\)(gt)
=> Tứ giá MNAC là hình thang vuông.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài làm
a) Vì \(\widehat{BAC}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^0\)
=> tứ giác AEDH là hình chữ nhật.
=> Hai đường chéo AH và ED cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà AH = ED ( tính chất đường chéo của hình vuông )
Gọi giao điểm của AH và ED là O
=> Tam giác OHD cân tại O.
=> \(\widehat{AHD}=\widehat{EDH}\) (1)
Mà tam giác DHC vuông tại D
Mà DN là đường trung tuyến ( do N là trung điểm HC )
=> DN = HN = HC
=> Tam giác DHN cân tại N
=> \(\widehat{DHN}=\widehat{HDN}\)( hai góc ở đáy tam giác cân ) (2)
Cộng (1) vào (2), ta được: \(\widehat{AHD}+\widehat{DHN}=\widehat{EDH}+\widehat{HDN}\)
=> \(\widehat{AHC}=\widehat{EDN}\)
hay \(90^0=\widehat{EDN}\)
=> DN vuông góc với ED (3)
Vì tam giác OEH cân tại O ( cmt )
=> \(\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\)( hai góc ở đáy tam giác cân ) (4)
Mà tam giác BEH vuông tại H
Mà EM là trung tuyến ( Do N là trung điểm BH )
=> EM = BM = MH
=> Tam giác EMH cân tại M.
=> \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\) (5)
Cộng (4) và (5) ta được: \(\widehat{OEH}+\widehat{MEH}=\widehat{OHE}+\widehat{MHE}\)
=> \(\widehat{OEM}=\widehat{OHM}\)
hoặc \(\widehat{DEM}=\widehat{AHB}\)
hay \(\widehat{DEM}=90^0\)
=> ME vuông góc với ED (6)
Từ (3) và (6) => ME // DN
=> DEMN là hình thang
Mà \(\widehat{DEM}=90^0\)( cmg )
=> Hình thang DEMN là hình thang vuông ( đpcm )
Ta có: góc HEA = góc EAD = góc ADH (=900)
=> tứ giác AEHD là hình chữ nhật
=> ED = AH.
Gọi T là giao điểm của ED và AH, ta có: ET = TH = TD = AT
Trong tam giác vuông BEH có EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BH => EM = MH (1)
Xét tam giác MET và tam giác MHT có:
ME = MH(từ 1); MT chung; ET = TH (chứng minh trên)
=> tam giác MET = tam giác MHT (c-c-c)
=> góc MET= góc MHT =900 (2 góc tương ứng) (2)
Tường tự ta có tam giác HTN = tam giác DTN (c-c-c)
=> góc THN = góc TDN = 900 (2 góc tương ứng) (3)
Từ (2)(3) => EM song song với DN
(vì cùng vuông góc với DE " từ vuông góc đến song song")
=> tứ giác EMND là hình thang và có góc MED = góc EDN (=900)
=> hình thang EMND là hình thang vuông
ở lớp làm bài quá vắn tắt đến nỗi cô giáo cx bó tay, thế mà làm bài ở đây thì dài dòng k cần thiết