Question

[Hiền Nguyễn]

cho tam giác ABC có các đường phân giác BE, CF cắt nhau tại O và \(\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{1}{2}\) cmr tam giác ABC vuông tại A

Answer 1

[Hiền Nguyễn]

đặt AB=c, AC=b, BC=a

ta có:

\(\frac{EC}{AE}=\frac{BC}{AB}\)(vì BE là phân giác goc B của tam giác ABC)

\(\Leftrightarrow\frac{EC}{AC-EC}=\frac{BC}{AB}hay\frac{EC}{b-EC}=\frac{a}{c}\Rightarrow EC.c=ab-a.EC\)

\(\Leftrightarrow EC.c+a.EC=ab\Leftrightarrow EC\left(a+c\right)=ab\Rightarrow EC=\frac{ab}{a+c}\)

\(\frac{BF}{ÀF}=\frac{BC}{AC}\) (vì CF là phân giác góc C của tam giác ABC)

\(\Leftrightarrow\frac{BF}{AB-BF}=\frac{BC}{AC}hay\frac{BF}{c-BF}=\frac{a}{b}\Rightarrow b.BF=ac-a.BF\Leftrightarrow b.BF+a.BF=ac\Leftrightarrow BF\left(a+b\right)=ac\Rightarrow BF=\frac{ac}{a+b}\)

lại có:

\(\frac{OB}{OE}=\frac{BC}{EC}\) (vì CO là phân giác góc C của tam giác CEB)

\(\Rightarrow\frac{OB}{OB+OE}=\frac{BC}{BC+EC}hay\frac{OB}{BE}=\frac{a}{a+\frac{ab}{a+c}}=\frac{a}{\frac{a\left(a+c\right)+ab}{a+c}}=\frac{a\left(a+c\right)}{a\left(a+b+c\right)}=\frac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\)

\(\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{BF}\)(BO là phân giác góc B của tam giác BFC)

\(\Rightarrow\frac{OC}{OF+OC}=\frac{BC}{BC+BF}\Leftrightarrow\frac{OC}{CF}=\frac{BC}{BC+CF}hay\frac{OC}{CF}\frac{a}{a+\frac{ac}{a+b}}=\frac{a}{\frac{a\left(a+b\right)+ac}{a+b}}=\frac{a\left(a+b\right)}{a\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{a+b}{a+b+c}\left(2\right)\)

nhân (1) và (2) vế theo vế ta được: \(\frac{OB}{BE}.\frac{OC}{CF}=\frac{a+c}{a+b+c}.\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

theo đề bài thì \(\frac{OB}{BE}.\frac{OC}{CF}=\frac{1}{2}\)

nên: \(\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)

=> 2(a+c)(a+b)=(a+b+c)²

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+ac+bc+ab\right)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2ac+2bc+2ab=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\) hay BC²=AB²+AC² => tam giác ABC vuông tại A( theo định lí pytago đảo)