Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(A=\left(\sqrt{\pi}\right)^{\cos x};x\in R\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2021
\(f'\left(x\right)=2-\dfrac{\pi}{2}sin\left(\dfrac{\pi x}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(4-\pi sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\right)\)
Do \(\left|\pi sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\right|\le\pi< 4\Rightarrow f'\left(x\right)>0\) ; \(\forall x\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}+f\left(x\right)_{max}=f\left(-2\right)+f\left(2\right)=-4+cos\left(-\pi\right)+4+cos\left(\pi\right)=-2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 5 2021
\(S=sinx+siny+sin\left(3x+y\right)-sin\left(3x+y\right)-sin\left(x+y\right)\)
\(=sinx+siny-sin\left(x+y\right)\)
\(S^2=\left(sinx+siny-sin\left(x+y\right)\right)^2\le3\left(sin^2x+sin^2y+sin^2\left(x+y\right)\right)\)
\(S^2\le3\left(1-\dfrac{1}{2}\left(cos2x+cos2y\right)+sin^2\left(x+y\right)\right)\)
\(S^2\le3\left[1-cos\left(x+y\right)cos\left(x-y\right)+1-cos^2\left(x-y\right)\right]\)
\(S^2\le3\left[2+\dfrac{1}{4}cos^2\left(x+y\right)-\left[cos\left(x-y\right)-\dfrac{1}{2}cos\left(x+y\right)\right]^2\right]\le3\left[2+\dfrac{1}{4}cos^2\left(x+y\right)\right]\)
\(S^2\le3\left(2+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{27}{4}\)
\(\Rightarrow S\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\\c=2\end{matrix}\right.\)
LT
3 tháng 4 2017
a) Ta có:
−1≤cosx≤1,∀x∈R⇔0≤1+cosx≤2⇔0≤2(1+cosx)≤4⇔1≤√2(1+cosx+1≤3−1≤cosx≤1,∀x∈R⇔0≤1+cosx≤2⇔0≤2(1+cosx)≤4⇔1≤2(1+cosx+1≤3
Vậy y ≤ 3, ∀ x ∈ R
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)
Vậy ymax = 3 khi x = k2π
b) Ta có:
Với mọi x ∈ R, ta có:
sin(x−π6)≤1⇔3sin(x−π6)≤3⇔3sin(x−π6)−2≤1⇔y≤1sin(x−π6)≤1⇔3sin(x−π6)≤3⇔3sin(x−π6)−2≤1⇔y≤1
Vậy ymax = 1 khi sin(x−π6)=1⇔x=2π3+k2π,k∈Z
Do \(\sqrt{\pi}>1\) nên theo tính chất về lũy thừa số thực, ta có :
* Vì \(\cos x\ge1,x\in R\) nên \(A=\left(\sqrt{\pi}\right)^{\cos x}\ge\left(\sqrt{\pi}\right)^{-1}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\)
Giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\) đạt được khi \(\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+2k\pi,k\in Z\)
* Vì \(\cos x\le1,x\in R\) nên \(A=\left(\sqrt{\pi}\right)^{\cos x}\le\left(\sqrt{\pi}\right)^1=\sqrt{\pi}\)
Giá trị nhỏ nhất của A là \(\sqrt{\pi}\) đạt được khi \(\cos x=1\Leftrightarrow x=2k\pi,k\in Z\)