Tìm GTN của x và y thỏa mãn : \(x^2+4y^2=2xy+12\)
( Đề thi HSG - TX Sầm Sơn năm nay )
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
9
22 tháng 4 2016
x2+2xy+4y2+2xy=6xy+12
x(x+2y)+2y(2y+x)=6xy+12
(x+2y)(x+2y)=6(xy+2)
(x+2y)2=6(xy+2)
= x+2y=xy+2 và x+2y=6
x-xy=2-2y 2+2y=6
x(1-y)=2(1-y) 2y=6-2=4
nên x=2 y=4/2=2
Vậy x=2 và y=2
không chắc đâu Kiệt, cậu thử hỏi thầy cô c xem có đúng k, t làm tầm bậy đó,
28 tháng 10 2019
Anh ơi em nghĩ phải lả \(+\frac{1}{x+y+z}\)thì mới đúng ạ
28 tháng 10 2019
sửa đề \(M=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}+\frac{1}{x+y+z}\)
giải
Áp dụng bđt cô si cho 3 số dương \(x,y,z\)ta có:
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\\y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\\z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2;\frac{y^2+1}{y}\ge2;\frac{z^2+1}{z}\ge2\)(1)
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3^2\)
Mà \(x,y,z\)nguyên dương
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(2\right)\)
Lấy (1) + (2) ta được:
\(M\ge2+2+2+\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{19}{3}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
CL
3
9 tháng 12 2017
\(x^2+2xy+4x+4y+3y^2+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(4x+4y\right)+4+2y^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)+4=1-2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)^2=1-2y^2\)
Do \(VP=1-2y^2\le1\forall y\) nên \(VT=\left(x+y+2\right)^2\le1\)
\(\Leftrightarrow-1\le x+y+2\le1\)
\(\Leftrightarrow-1+2015\le x+y+2+2015\le1+2015\)
\(\Leftrightarrow2014\le x+y+2017\le2016\)
Hay \(2014\le B\le2016\)
S
28 tháng 12 2017
Có x^2 + 2xy + 4x + 4y + 2y^2 + 3 = 0
--> (x+y)^2 + 4(x+y) + 4+ y^2 - 1 = 0
--> (x+y+2)^2 + y^2 = 1
-->(x+y+2)^2 <= 1 ( vì y^2 >=1)
--> -1 <= x+y+2 <=1
--> 2015 <= x+y+2018 <= 2017
hay 2015 <= Q , dau bang xay ra khi x+y+2=-1 --> x+y=-3
Q<=2017, dau bang xay ra khi x+y+2=1 --> x+y=-1
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 2015 khi x+y =-3
giá trị lớn nhất của Q là 2017 khi x+y=-1
NT
0
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
24 tháng 10 2021
\(P=\frac{xy+x+y+2}{x+y+2}=\frac{xy}{x+y+2}+1\)
Đặt \(Q=\frac{x+y+2}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\)
Ta có: \(4=x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow xy\le2\)
\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=8\Rightarrow x+y\le2\sqrt{2}\)
\(Q=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{2}{xy}\ge\frac{4}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2}=1+\sqrt{2}\)
Suy ra \(P\le\frac{1}{1+\sqrt{2}}+1=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}+1=\sqrt{2}\).
Dấu \(=\)khi \(x=y=\sqrt{2}\).
LM
24 tháng 10 2021
TL:
P=xy+x+y+2x+y+2 =xyx+y+2 +1
Đặt Q=x+y+2xy =1x +1y +2xy
Ta có: 4=x2+y2≥2xy⇔xy≤2
(x+y)2≤2(x2+y2)=8⇒x+y≤2√2
Q=1x +1y +2xy ≥4x+y +2xy ≥42√2 +22 =1+√2
Suy ra P≤11+√2 +1=√2−1(1+√2)(√2−1) +1=√2.
Dấu = khi x=y=√2.
^HT^
ghi tao eo hieu j ca