Question

[Đặng Minh Triều]

Cho các số thực a,b,c thõa mãn a+b+c=6 và 0<=a,b,c<=4

giá trị lớn nhất củaP=a²+b²+c²+ab+ac+bc

 

Answer 1

[Lightning Farron]

Từ giả thiết \(a+b+c=6\) ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2=36=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)=P+ab+ac+bc\)

Hay \(P=36-ab-bc-ca\).

Vậy GTLN của P tương đương với GTNN của \(ab+bc+ca\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\) là số lớn nhất trong \(a,b,c\)

Thì \(a+b+c=6\le3a\), do đó \(4\ge a\ge2\)

Lại có: \(ab+bc+ca\ge ab+ca=a\left(b+c\right)=6\left(6-a\right)\ge8\) với \(4 \ge a \ge 2\)

Do đó GTNN của \(ab+bc+ca=8\), khi \(\left\{\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=0\end{matrix}\right.\)

Vậy GTLN của P là \(36-8=28\) khi \(\left\{\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=0\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[ngonhuminh]

\(\left\{\begin{matrix}a+b+c=6\left(1\right)\\0\le a,b,c\le4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ(1)=> \(\left\{\begin{matrix}b+c=\left(6-a\right)\\b^2+c^2+bc=\left(6-a\right)^2-bc\end{matrix}\right.\)

\(P=a^2+\left(b^2+c^2+bc\right)+a\left(b+c\right)=a^2+\left[\left(6-a\right)^2-bc\right]+a\left(6-a\right)\)

\(P=\left(a^2-12a+36\right)-bc=\left(a-6\right)^2-bc\)

Từ (2)=> \(bc\ge0\) \(\Rightarrow P\le\left(a-6\right)^2\)

đạt được khi: \(b.c=0\Rightarrow\left[\begin{matrix}b=0\\c=0\end{matrix}\right.\) (3)

từ (1)&(3) \(\Rightarrow2\le a\le4\) (4)

P lớn nhất => !a-6! lớn nhất thủa mãn (4) => a=2 Từ (1)&(3)=>\(\left[\begin{matrix}b=4\\c=4\end{matrix}\right.\)

Kết luận:

Để P(a,b,c) đạt Max trong 3 số phải có 1 số =0 (cận bé của (2) ; Một số =4 (cận lớn của (2); một số thỏa mãn điều kiện (1)

Vậy: \(P_{max}\left(a,b,c\right)=P\left(4,2,0\right)=4^2+2^2+0^2+2.4+0+0=28\)