Question

[Pham Van Tien]

Câu 5.

Trong các hàm số cho dưới đây, hàm nào là hàm riêng của toán tử Laplace. Trong trường hợp nếu là hàm riêng thì hãy chỉ ra trị riêng của nó?

a) sin(x + y + z)

b) cos(xy+yz+zx)

c) exp(x² + y² + z²)

d) ln(xyz) 

Answer 1

[trần thị hương giang _ 20135410]

phương trình dạng toán tử :  \(\widehat{H}\)\(\Psi\) = E\(\Psi\)

Toán tử Laplace: \(\bigtriangledown\)2 = \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)

thay vào từng bài cụ thể ta có :

a.sin(x+y+z)

^{\(\bigtriangledown\)2} f(x,y,z) = ( \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))sin(x+y+z)

                =\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)sin(x+y+z) + \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)sin(x+y+z) + \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)sin(x+y+z)

                =\(\frac{\partial}{\partial x}\)cos(x+y+z) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)cos(x+y+z) + \(\frac{\partial}{\partial z}\)cos(x+y+z)

                = -3.sin(x+y+z)

\(\Rightarrow\) sin(x+y+z) là hàm riêng. với trị riêng bằng -3.

b.cos(xy+yz+zx)

^{\(\bigtriangledown\)2} f(x,y,z) = ( \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))cos(xy+yz+zx)

                =\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)cos(xy+yz+zx) +\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)cos(xy+yz+zx) + \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)cos(xy+yz+zx)

                =\(\frac{\partial}{\partial x}\)(y+z).-sin(xy+yz+zx) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)(x+z).-sin(xy+yz+zx) + \(\frac{\partial}{\partial z}\)(y+x).-sin(xy+yz+zx)

                =- ((y+z)²cos(xy+yz+zx) + (x+z)²cos(xy+yz+zx) + (y+x)²cos(xy+yz+zx))

                =-((y+z)²+ (x+z)² + (x+z)²).cos(xy+yz+zx)

\(\Rightarrow\) cos(xy+yz+zx) không là hàm riêng của toán tử laplace.

c.exp(x²+y²+z²)

^{\(\bigtriangledown\)2} f(x,y,z) = (\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))exp(x²+y²+z²)                =\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)exp(x²+y²+z²)+\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)exp(x²+y²+z²) +\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)exp(x²+y²+z²)                =\(\frac{\partial}{\partial x}\)2x.exp(x²+y²+z²)+\(\frac{\partial}{\partial y}\)2y.exp(x²+y²+z²)+\(\frac{\partial}{\partial z}\)2z.exp(x²+y²+z²)                =2.exp(x²+y²+z²) +4x².exp(x²+y²+z²)+2.exp(x²+y²+z²) +4y².exp(x²+y²+z²)+2.exp(x²+y²+z²) +4z².exp(x²+y²+z²)                =(6+4x²+4y²+4z²).exp(x²+y²+z²)\(\Rightarrow\)exp(x²+y²+z²) không là hàm riêng của hàm laplace.d.ln(xyz)^{\(\bigtriangledown\)2} f(x,y,z) = (\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))ln(xyz)                =\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)ln(xyz)+\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)ln(xyz)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)ln(x+y+z)                =\(\frac{\partial}{\partial x}\)yz.\(\frac{1}{xyz}\) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)xz.\(\frac{1}{xyz}\) + \(\frac{\partial}{\partial z}\)xy.\(\frac{1}{xyz}\)                =\(\frac{\partial}{\partial x}\)\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{\partial}{\partial z}\)\(\frac{1}{z}\)                = - \(\frac{1}{x^2}\)- \(\frac{1}{y^2}\)- \(\frac{1}{z^2}\)\(\Rightarrow\) ln(xyz) không là hàm riêng của hàm laplace.  

Answer 2

[Trần Tuấn Anh]

đáp án D