Giải phương trình 20(\(\dfrac{x-2}{x-1}\))\(^2\)-5(\(\dfrac{x+2}{x-1}\))\(^2\)+48\(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\)=0 ta đc nghiệm x\(_1\)và x\(_2\)với x\(_1\)<x\(_2\) Tính 3x\(_1\)-x\(_2\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:
$\Delta'=1+(3+m)=4+m\geq 0\Leftrightarrow m\geq -4$ (chứ không phải với mọi m như đề bạn nhé)!
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2\\ x_1x_2=-(m+3)\end{matrix}\right.\)
$x_1, x_2\neq 0\Leftrightarrow -(m+3)\neq 0\Leftrightarrow m\neq -3$
$\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=\frac{-8}{3}$
$\Leftrightarrow \frac{x_1^2-x_2^2}{x_1x_2}=\frac{-8}{3}$
$\Leftrightarrow \frac{-2(x_1-x_2)}{-(m+3)}=\frac{-8}{3}$
$\Leftrightarrow x_1-x_2=\frac{4}{3}(m+3)$
$\Rightarrow (x_1-x_2)^2=\frac{16}{9}(m+3)^2$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{16}{9}(m+3)^2$
$\Leftrightarrow 4+4(m+3)=\frac{16}{9}(m+3)^2$
$\Leftrightarrow m+3=3$ hoặc $m+3=\frac{-3}{4}$
$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=\frac{-15}{4}$ (đều thỏa mãn)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sửa đề: \(\dfrac{x_1x_2}{x_1+x_2}=-\dfrac{m^2}{2}\)
PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2+4\left(2m^2-3m\right)>0\\ \Leftrightarrow9m^2-18m+9>0\\ \Leftrightarrow9\left(m-1\right)^2>0\left(\text{luôn đúng},\forall m\ne1\right)\)
Do đó PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\ne1\)
Áp dụng Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3-m\\x_1x_2=3m-2m^2\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\dfrac{x_1x_2}{x_1+x_2}=-\dfrac{m^2}{2}\Leftrightarrow\dfrac{3m-2m^2}{3-m}=-\dfrac{m^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow4m^2-12m=3m^2-m^3\\ \Leftrightarrow m^3+m^2-12m=0\\ \Leftrightarrow m\left(m^2+4m-3m-12\right)=0\\ \Leftrightarrow m\left(m+4\right)\left(m-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-4\\m=3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-4\\m=3\end{matrix}\right.\) thỏa yêu cầu đề
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a.
Phương trình có 2 nghiệm dương pb khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+2\ne0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m+2\right)\left(m-4\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m+2}>0\\x_1x_2=\dfrac{m-4}{m+2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-2\\4m+9>0\\\dfrac{m+1}{m+2}>0\\\dfrac{m-4}{m+2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-2\\m>-\dfrac{9}{4}\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -2\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>4\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\\-\dfrac{9}{4}< m< -2\end{matrix}\right.\)
b.
Pt có 2 nghiệm khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne-2\\\Delta'=4m+9\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-2\\m\ge-\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m+2}\\x_1x_2=\dfrac{m-4}{m+2}\end{matrix}\right.\)
\(3\left(x_1+x_2\right)=5x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{6\left(m+1\right)}{m+2}=\dfrac{5\left(m-4\right)}{m+2}\)
\(\Rightarrow6\left(m+1\right)=5\left(m-4\right)\)
\(\Leftrightarrow m=-26< -\dfrac{9}{4}\left(loại\right)\)
Vậy ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Delta=\left(4m+1\right)^2-8\left(m-4\right)=16m^2+33>0;\forall m\)
Pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-1\\x_1x_2=2m-8\end{matrix}\right.\)
a. Kết hợp hệ thức Viet và đề bài: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-1\\x_2-x_1=17\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2m-9\\x_2=-2m+8\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=2m-8\)
\(\Rightarrow\left(-2m-9\right)\left(-2m+8\right)=2m-8\)
\(\Leftrightarrow m^2-9m+20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=5\end{matrix}\right.\)
b.
\(A=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(A=\left(4m+1\right)^2-8\left(m-4\right)\)
\(A=16m^2+33\ge33\)
\(A_{min}=33\) khi \(m=0\)
c.
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-1\\x_1x_2=2m-8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-1\\2x_1x_2=4m-16\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế:
\(x_1+x_2+2x_1x_2=-17\)
Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Thay m=1 vào pt, ta được:
\(x^2-1=0\)
=>(x-1)(x+1)=0
=>x=1 hoặc x=-1
b: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\cdot\left(-m\right)\)
\(=4m^2-8m+4+4m\)
\(=4m^2-4m+4\)
\(=4\left(m^2-m+1\right)\)
\(=4m^2-4m+1+3=\left(2m-1\right)^2+3>0\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta có: \(2\left(x_1+x_2\right)-3x_1x_2+9=0\)
\(\Leftrightarrow2\cdot\left[-2\left(m-1\right)\right]-3\cdot\left(-m\right)+9=0\)
\(\Leftrightarrow-4\left(m-1\right)+3m+9=0\)
=>-4m+4+3m+9=0
=>13-m=0
hay m=13
a, Thay m = 1 ta được
\(x^2-1=0\Leftrightarrow x=1;x=-1\)
b,
Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)
\(-4\left(m-1\right)+3m+9=0\Leftrightarrow-m+13=0\Leftrightarrow m=13\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta có: \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m-10\right)\)
\(=1+4\left(2m+10\right)\)
\(=8m+41\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì \(8m+41\ge0\)
hay \(m\ge-\dfrac{41}{8}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a,Có \(\Delta=4\left(m+2\right)^2-4.-\left(4m+12\right)=4m^2+32m+64=4\left(m+4\right)^2\ge0\forall m\)
=> Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b,Phương trình có nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-2\left(m+2\right)+2\left(m+4\right)}{2}=2\\x=\dfrac{-2\left(m+2\right)-2\left(m+4\right)}{2}=-2m-6\end{matrix}\right.\) (ở đây không cần chia trường hợp của m bởi khi chia trường hợp thì x chỉ đổi giá trị cho nhau)
TH1: \(x_1=x_2^2\Leftrightarrow4=\left(-2m-6\right)^2\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=-4\end{matrix}\right.\) (Thay vào pt thấy không thỏa mãn)
TH2:\(x_1=x_2^2\Leftrightarrow-2m-6=2^2\)\(\Leftrightarrow m=-5\) (Thay vào pt thấy thỏa mãn)
Vậy ...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Để pt có 2 nghiệm x1;x2
\(\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(m+1\right)=m^2+4m+4-m-1=m^2+3m+3\ge0\)
Ta có : \(\left(x_1+x_2\right)\left[1-2\left(x_1+x_2\right)+1\right]=m^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+2\right)\left[2-2.2\left(m+2\right)\right]=m^2\)
\(\Leftrightarrow m^2=2\left(m+2\right)\left(-6-4m\right)\Leftrightarrow m^2=-4\left(m+2\right)\left(3+2m\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2=-4\left(2m^2+7m+6\right)\Leftrightarrow m^2+8m^2+28m+24=0\)
\(\Leftrightarrow9m^2+28m+24=0\)
\(\Delta'=196-24.9=196-216< 0\)
Vậy ko có gtri m tm