Question

[luong quang tuan]

Cho hình thang ABCD ( góc C+góc D=90 độ,AB song song vói CD,AB nhỏ hơn CD), M là trung điểm cửa AB,N là trung điểm của CD.CM: MN=(CD-AB) chia 2

Answer 1

[Lê Thị Thục Hiền]

Gọi K là giao điểm của AD và BC

\(\Rightarrow\) Tam giác KDC vuông tại K (do D+C=90) hay tam giác KAB vuông tại K

Gọi F là giao điểm của KM với CD

Áp dụng định lý Thales có:

\(\dfrac{AM}{DF}=\dfrac{KM}{KF}\)

\(\dfrac{KM}{KF}=\dfrac{MB}{FC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{DF}=\dfrac{MB}{FC}\) mà AM=MB \(\Rightarrow DF=FC\) 

\(\Rightarrow\) F là trung điểm của DC mà N cũng là tđ của DC

\(\Rightarrow F\equiv M\)

\(\Rightarrow\) K;M;N thẳng hàng

Áp dụng định lý Thales có:

\(\dfrac{KM}{KN}=\dfrac{AM}{DN}\Rightarrow\dfrac{KM}{AM}=\dfrac{KN}{DN}=\dfrac{KN-KM}{DN-AM}=\dfrac{MN}{\dfrac{1}{2}\left(DC-AB\right)}=\dfrac{2MN}{DC-AB}\)

Do đó \(\dfrac{KM}{AM}=\dfrac{2MN}{DC-AB}\)

Do M là tđ của AB mà tam giác KAB vuông tại K \(\Rightarrow KM=\dfrac{1}{2}AB\)

Lại có: \(AM=\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow KM=AM\)\(\Rightarrow\dfrac{2MN}{DC-AB}=1\)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{DC-AB}{2}\) (đpcm)