Tìm GTNN của C= \(2x^2+5y^2+4xy+8x-4y-100\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XO
24 tháng 10 2020
a) Đặt A = u2 + v2 - 2u + 3v + 15
= (u2 - 2u + 1) + (v2 + 3v + 9/4) + 47/4
= (u - 1)2 + (v + 3/2)2 + 47/4 \(\ge\frac{47}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}u-1=0\\v+\frac{3}{2}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}u=1\\v=-\frac{3}{2}\end{cases}}\)
Vậy Min A = 47/4 <=> u = 1 ; y = -3/2
NH
1
LC
16 tháng 9 2018
a, \(P=2x^2+5y^2+4xy+8x-4y+15\)
\(=\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-5\)\(\ge-5\)
Dấu "="xảy ra khi:\(\hept{\begin{cases}\left(x+2y\right)^2=0\\\left(x+4\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-4\\y=2\end{cases}}\)
Vậy...
b, \(C=2x^2+4xy+4y^2-3x-1\)
\(=\left(x+2y\right)^2+\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\ge-\frac{5}{4}\)
sau đó giải tương tự câu a nhé
16 tháng 9 2018
\(P=2x^2+5y^2+4xy+8x-4y+15\)
\(=\left(x^2+4xy+4y^2\right)+\left(x^2+8x+16\right)+\left(y^2-4y+4\right)-5\)
\(=\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-5\)
Ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2y\right)^2\ge0\\\left(x+4\right)^2\ge0\\\left(y-2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow P\ge-5\)
Dấu "=" xảy ra khi :
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2y\right)^2=0\\\left(x+4\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy \(P_{Min}=-5\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=2\end{matrix}\right.\)
20 tháng 9 2021
\(A=x^2+5y^2-4xy-2x-4y+5=x^2-2x\left(2y+1\right)+\left(2y+1\right)^2+\left(y^2-8y+16\right)-12=\left(x-2y-1\right)^2+\left(y-4\right)^2-12\ge-12\)
\(minA=-12\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=4\end{matrix}\right.\)
L
1
AT
19 tháng 7 2018
Đặt: \(S=2x^2+5y^2+4xy+8x-4y-100\)
\(=\left(x^2+4xy+4y^2\right)+\left(x^2+8x+16\right)+\left(y^2-4y+4\right)-120\)
\(=\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-120\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2y\right)^2\ge0\\\left(x+4\right)^2\ge0\\\left(y-2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left(x+2y\right)+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\)
=> \(\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-120\ge-120\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=0\\x+4=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy MinS = -120 ⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=2\end{matrix}\right.\)
ML
6
PT
17 tháng 9 2018
a) \(A=9x^2-6x+3\)
\(A=\left(3x\right)^2-2.3x+1+2\)
\(A=\left(3x-1\right)^2+2\)
Vì \(\left(3x-1\right)^2\ge0\) với mọi x
\(\Rightarrow\left(3x-1\right)^2+2\ge2\) với mọi x
\(\Rightarrow Amin=2\Leftrightarrow3x-1=0\)
\(\Rightarrow3x=1\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 2 khi x = 1/3
b) \(B=x^2-3x\)
\(B=x^2-2.x.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}\)
\(B=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\)
Vì \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x
\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\ge-\dfrac{9}{4}\) với mọi x
\(\Rightarrow Bmin=-\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow x-\dfrac{3}{2}=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -9/4 khi x = 3/2
c) \(C=x^2+8x+10\)
\(C=x^2+2.x.4+16-6\)
\(C=\left(x+4\right)^2-6\)
Vì \(\left(x+4\right)^2\ge0\) với mọi x
\(\Rightarrow\left(x+4\right)^2-6\ge-6\) với mọi x
\(\Rightarrow Cmin=-6\Leftrightarrow x+4=0\)
\(\Rightarrow x=-4\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -6 khi x = -4
d) \(D=x^2-2x+15+y^2+3y\)
\(D=x^2-2x+1+y^2+2.y.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}+14\)
\(D=\left(x-1\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{47}{4}\)
Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\) với mọi x
\(\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\) với mọi y
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x,y
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{47}{4}\ge\dfrac{47}{4}\) với mọi x,y
\(\Rightarrow Dmin=\dfrac{47}{4}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y+\dfrac{3}{2}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy giá trị của biểu thức là 47/4 khi x = 1 và y = -3/2
e) \(E=2x^2+4xy+8x+5y^2-4y-100\)
\(E=\left(x^2+4xy+4y^2\right)+\left(x^2+8x+16\right)+\left(y^2-4y+4\right)-120\)
\(E=\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-120\)
Vì \(\left(x+2y\right)^2\ge0\) với mọi x,y
\(\left(x+4\right)^2\ge0\) với mọi x
\(\left(y-2\right)^2\ge0\) với mọi y
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\) với mọi x,y
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-120\ge-120\) với mọi x,y
\(\Rightarrow Emin=-120\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=0\\x+4=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -120 khi x = -4 ; y = 2
f) \(F=x^2-6xy+26+10y^2-10y\)
\(F=x^2-6xy+9y^2+y^2-10y+25+1\)
\(F=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(y^2-10y+25\right)+1\)
\(F=\left(x-3y\right)^2+\left(y-5\right)^2+1\)
Vì \(\left(x-3y\right)^2\ge0\) với mọi x,y
\(\left(y-5\right)^2\ge0\) với mọi y
\(\Rightarrow\left(x-3y\right)^2+\left(y-5\right)^2\ge0\) với mọi x,y
\(\Rightarrow\left(x-3y\right)^2+\left(y-5\right)^2+1\ge1\) với mọi x,y
\(\Rightarrow Fmin=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=0\\y-5=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3y\Rightarrow x=15\\y=5\end{matrix}\right.\)
Vậy giá trị của biểu thức là 1 khi x = 15 và y = 5
\(C=2x^2+5y^2+4xy+8x-4y-100 \)
\(C=\left(x^2+8x+16\right)+\left(y^2-4y+4\right)+\left(x^2+4xy+4y^2\right)-120\)
\(C=\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(x+2y\right)^2-120\ge-120\)
Vậy GTNN của C là -120 khi x = -4; y = 2
\(C=x^2+4xy+4y^2+x^2+8x+16+y^2-4y+4-120\)
\(=\left(x+2y\right)^2+\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2-120\ge-120\)
vậy GTNN của C là -120 khi \(x=-4;y=2\)