Cho \(\hept{\begin{cases}a+b=1\\a,b>0\end{cases}}\)
Tìm MIN A=\(a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 9 2017
1,
\(A=1+a+\frac{1}{b}+\frac{a}{b}+1+b+\frac{1}{a}+\frac{b}{a}\)
\(\ge1+1+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+a+b+\frac{a+b}{ab}=4+a+b+\frac{4\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^2}=4+a+b+\frac{4}{a+b}\)
lại có \(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
\(4+a+b+\frac{4}{a+b}=4+\left(a+b+\frac{2}{a+b}\right)+\frac{2}{a+b}\ge4+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\ge4+3\sqrt{2}\)
9 tháng 9 2017
câu 2
ta có:\(\left(2b^2+a^2\right)\left(2+1\right)\ge\left(2b+a\right)^2\Rightarrow3c\ge a+2b\)
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\left(Q.E.D\right)\)
TT
1
H
24 tháng 8 2018
Ta có :\(A=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}\)
\(A\ge\frac{4}{2ab+a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}\)
\(A\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{3}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\)
\(A\ge4+6=10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2ab\\a+b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy Min A = 10 <=> a = b = 1/2
20 tháng 6 2018
\(A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\)
\(>=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+ac+bc}\)(bđt svacxo)\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
\(>=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc+ac+ac+bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)(bđt svacxo)
\(=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
\(=\frac{9}{1}+\frac{7}{ab+ac+bc}=9+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc>=ab+ac+bc+2ab+2ac+2bc\)
\(=3ab+3ac+3bc=3\left(ab+ac+bc\right)\Rightarrow\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{3}>=ab+ac+bc\Rightarrow ab+ac+bc< =\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow9+\frac{7}{ab+ac+bc}>=9+\frac{7}{\frac{1}{3}}=9+7\cdot3=9+21=30\)
\(\Rightarrow A>=30\)dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
vậy min A là 30 khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
22 tháng 7 2019
Em không chắc đâu nha, sai thì xin thông cảm cho ạ
\(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow B=\frac{3\sqrt{3}}{2}\). Ta se chung minh do la gia tri min cua B. That vay:
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
BĐT trên đồng bậc, nên ta chuẩn hóa a2 + b2 + c2 = 3 và chứng minh:
\(\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{3}{2}\) (2)
Ta chứng minh BĐT sau: \(\frac{a}{3-a^2}\ge\frac{1}{2}a^2\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}-\frac{a}{3-a^2}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(a-1\right)^2a\left(a+2\right)}{2\left(3-a^2\right)}\le0\) (Đúng)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra BĐT (2) là đúng.
Suy ra BĐT (1) là đúng suy ra \(B_{min}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Vậy...
22 tháng 7 2019
Xét \(\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{1-a^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)
<=> \(a^4-a^2+\frac{2\sqrt{3}}{9}a\ge0\)
<=> \(a\left(a+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\left(a-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\ge0\)luôn đúng
=> \(B\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Min \(B=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)khi \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
1 tháng 7 2019
\(A\ge3\left(a+b+c\right)+\frac{9}{a+b+c}=3.3+\frac{9}{3}=12\)
\(A_{min}=12\) khi \(a=b=c=1\)
G
1 tháng 7 2019
Ta cần chứng minh: \(3a+\frac{1}{a}\ge2a+2\Leftrightarrow3a+\frac{1}{a}-4\ge2\left(a-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3a^2-4a+1}{a}-2\left(a-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(\frac{3a-1}{a}-2\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2}{a}\)(đúng)
Tương tự: \(3b+\frac{1}{b}\ge2b+2;3c+\frac{1}{c}\ge2c+2\)
Cộng theo vế: \(A\ge2\left(a+b+c\right)+6=12\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
4 tháng 5 2018
Từ đề bài \(\Rightarrow\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\) (AM-GM)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\\\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\end{cases}}\)
Nhân các vế tương ứng của các bđt vừa cm đc ta có :
\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Vì a,b >0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}\)
\(\ge2\)
\(b^2+\frac{1}{b^2}\ge2\sqrt{b^2.\frac{1}{b^2}}\)
\(\ge2\)
Cộng vế theo vế, ta được:
\(a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge2+2\)
\(\Rightarrow A\ge4\)
Vậy MinA=4 \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^2=\frac{1}{a^2}\\b^2=\frac{1}{b^2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)
Btđ cô si