CMR: nếu x+y+z+t= 0 thì x^3 + y^3 + z^3 + t^3 = 3(xy-zt).(z+t)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
1
ML
2 tháng 8 2015
\(x+y+z+t=0\Rightarrow t=-\left(x+y+z\right)\)
Ta có:
\(VT=x^3+y^3+z^3+t^3=x^3+y^3+z^3-\left(x+y+z\right)^3\)
\(=x^3+y^3+z^3-\left[x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]\)
\(=-3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(VP=3\left[xy+z\left(x+y+z\right)\right]\left(z-x-y-z\right)=3\left(xy+yz+zx+z^2\right)\left(-x-y\right)\)
\(=-3\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+y\right)\)
Do VT = VP nên ta có đpcm.
NT
0
I
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 2 2020
Lời giải:
Đặt biểu thức vế trái là $A$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A[x(yz+zt+ty)+y(xz+zt+xt)+z(xt+yt+xy)+t(xy+yz+xz)]\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)^2\)
Vì $xyzt=1$ nên:
\(x(yz+zt+ty)+y(xz+zt+xt)+z(xt+yt+xy)+t(xy+yz+xz)=\frac{1}{t}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)
Do đó:
$A. 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)^2$
$\Rightarrow A\geq \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{3}$
Áp dụng BĐT AM-GM: \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=4$
Vậy $A\geq \frac{4}{3}$ (đpcm)
28 tháng 12 2017
Từ \(xyzt=1\) ta có: \(\dfrac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}=\dfrac{xyzt}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}=\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}\)
Đánh giá tương tự ta có:
\(pt\Leftrightarrow\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}+\dfrac{xzt}{y^2\left(xz+zt+tx\right)}+\dfrac{xyt}{z^2\left(xy+yt+tx\right)}+\dfrac{xyz}{t^2\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\left(yzt+xzt+xyt+xyz\right)=3yzt+3xzt+3xyt+3xyz\)
Ta sẽ chứng minh:
\(\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}\ge3yzt\). Cộng theo vế rồi suy ra đpcm
T gần đi học r,có gì tối về giải full cho
PT
2
TN
30 tháng 6 2017
cho x,y,z,t >0 thỏa: xy+4zt+2yz+2xt=9. tìm GTLN của A= căn (xy) + 2căn(zt)? | Yahoo Hỏi & Đáp
knubic.info/question/1069/tìm-nghiệm-nguyên-của-3x22y2z24xy2yz26-2xz-và-x2x6
https://diendantoanhoc.net/topic/117081-cm-sqrtxy2sqrtztleq3/?langurlbits=topic/117081-cm-sqrtxy2sqrtztleq3/&setlanguage=1&langid=2
30 tháng 6 2017
các bn ơi bé hơn hoặc bằng 3 thôi chứ ko phải 33 nhé. cảm ơn các bn đã giúp đỡ mìn
15 tháng 1 2020
Ta đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c;\frac{1}{t}=d\) ( a, b, c, d >0 )
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\frac{a^3}{\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{db}}+\frac{b^3}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}}+\frac{c^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{da}}+\frac{d^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+d\right)\)
\(VT=\frac{a^3}{\frac{b+c+d}{bcd}}+\frac{b^3}{\frac{a+c+d}{acd}}+\frac{c^3}{\frac{a+b+d}{abd}}+\frac{d^3}{\frac{a+b+c}{abc}}\)
\(=\frac{a^3}{\frac{a\left(b+c+d\right)}{abcd}}+\frac{b^3}{\frac{b\left(a+c+d\right)}{abcd}}+\frac{c^3}{\frac{c\left(a+b+d\right)}{abcd}}+\frac{d^3}{\frac{d\left(a+b+c\right)}{abcd}}\)
\(=\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{3\left(a+b+c+d\right)}=\frac{a+b+c+d}{3}=VP\)
Vậy ta đã chứng minh được
\(\frac{a^3}{\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{db}}+\frac{b^3}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}}+\frac{c^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{da}}+\frac{d^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+d\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d
Vậy :
\(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\frac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = t = 1
ko biết