Cho tam giác ABC cân ở A. Lấy M,N lần lượt trên cạnh AB,AC sao cho AM=CN. Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng MN khi M,N chạy trên AB,AC
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 11 2017
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)(D là trung điểm của BC) (1)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AK}\)(K là trung điểm của MN) (2)
Lấy (1) trừ (2) có: \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=2\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}\right)\)
⇔\(\dfrac{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)
⇔\(\dfrac{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)
⇔\(\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)
⇔\(\dfrac{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)
⇔\(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)=\(\overrightarrow{KD}\)
*) Bài toán thuận:
Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh BC ở điểm P, nối PM.
Gọi D; E lần lượt là trung điểm của AB và AC. I là trg điểm MN.
Ta có: NP // AB => ^NPC=^ABC (Đồng vị). Mà ^ABC = ^ACB => ^NPC = ^ACB = ^NCP
=> \(\Delta\)PNC cân tại N => CN=PN. Lại có: AM=CN => AM=PN
Xét tứ giác AMPN: AM=PN; AM // PN => Tứ giác AMPN là hình bình hành
Thấy I là trung điểm của đường chéo MN => I cũng là trung điểm của AP.
Xét \(\Delta\)PAC: I và E lần lượt là trg điểm của AP và AC => EI là đường trung bình \(\Delta\)PAC
=> IE // PC hay IE // BC. Tương tự ID//BC => D;I;E thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit)
=> I nằm trên đường trung bình DE của \(\Delta\)ABC cố định.
*) Bài toán đảo: Cho tam giác ABC cân A có M và N thuộc AB và AC sao cho AM=CN. MN cắt đường trung bình DE của tam giác ABC ở điểm I. CMR I là trung điểm của MN ?
Qua M kẻ đường thẳng // AC cắt DE tại Q .
Ta có: AB=AC => 1/AAB=1/2AC => AD=CE. Mà AM=CN => AD-AM = CE - CN => DM=EN
Dễ thấy \(\Delta\)DMQ cân tại M => DM=QM => QM=EN.
Xét \(\Delta\)MIQ và \(\Delta\)NIE: ^IMQ=^INE; ^IQM=^IEN (Do MQ//AC); QM=EN
=> \(\Delta\)MIQ=\(\Delta\)NIE (g.c.g) => IM=IN (2 cạnh tương ứng) => I là trung điểm MN (đpcm).
*) Vậy khi 2 điểm M và N di động trên AB và AC sao cho AM=CN thì trung điểm của MN luôn chạy trên đường trung bình của tam giác ABC.