Cho x,y,z>0 thõa x2+y2+z2=3xyz
Chứng minh \(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\) >=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
29 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=1\)
Vậy ............
DL
11 tháng 5 2017
\(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\right)\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu ''='' chỉ xảy ra khi x=y=z=1
Để mình nghiên cứu giải cách khác
DL
11 tháng 5 2017
Mình giải áp dụng theo BĐT Nesbit (3 phần tử giống với đề bài )
Mình chứng minh theo Nesbit :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge6\)
TL
2
TL
0
NH
0
9 tháng 6 2018
Sử dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^3+y^2\ge2yx\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2yx\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\)
Tương tự cộng lại suy ra:
\(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
KM
Cho x,y,z >0 và x+y+z=3.Chứng minh \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\)
2
S
1 tháng 6 2019
đặt A=\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}\) +\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}\) +\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)=\(\frac{1}{x}\)-\(\frac{1}{x+1}\)+\(\frac{1}{y}\)-\(\frac{1}{y+1}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{z+1}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) (bạn tự chứng minh nha,quy đồng ,nhân chéo ,chuyển về )⇒\(\frac{1}{a+b}\) ≤\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))
⇒A≥\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)+3)
⇒A≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\))-\(\frac{3}{4}\)≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{9}{x+y+z}\))-\(\frac{3}{4}\)
⇒a≥\(\frac{9}{4}\)-\(\frac{3}{4}\)=\(\frac{3}{2}\) dpcm
Đặt: \(VT=\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\)
Theo BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{1}{9}\left(y+2\right)\ge\frac{2}{3}x\) và \(\frac{y^2}{z+2}+\frac{1}{9}\left(z+2\right)\ge\frac{2}{3}y\)và \(\frac{z^2}{x+2}+\frac{1}{9}\left(x+2\right)\ge\frac{2}{3}z\)
Cộng vế theo vế, ta có:
\(VT\ge\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)-\frac{1}{9}\left(x+y+z+6\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\) ( 1 )
Theo BĐT Cauchy, ta chứng minh được:
@ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow3xyz\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow3\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Leftrightarrow\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge\frac{1}{3}\)
@ \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\ge\frac{9}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\ge\frac{9}{3}=3\) ( 2 )
Từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow VT\ge\frac{5}{9}.3-\frac{2}{3}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)( thỏa đề bài )