Question

[Kochou Shinobu]

Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O) , các đường cao AD,BE và CF cắt nhau tại H . a. Chứng minh tứ giác BDEA nội tiếp và FC là tia phân giác của EFD . b) Kéo dài AD cắt (O) tại P (P khác A). Chứng minh D là trung điểm của HP và tam giác BFE đồng dạng tam giác DHE. c) Gọi giao điểm của PE và đường tròn (O) là M. Chứng minh BM đi qua trung điểm của EF.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

c) Gọi K là giao điểm của EF và AH, I và G lần lượt là trung điểm của EF và AH.

Ta thấy \(\left(DKHA\right)=-1\),G là trung điểm của HA => \(DK.DG=DH.DA=DB.DC\)

=> K là trực tâm của \(\Delta\)BGC => CK vuông góc BG

Vì CK vuông góc BG, BH vuông góc AC nên \(\widehat{ACK}=\widehat{HBG}\)(1)

Ta có \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}=\widehat{APC}\)=> (P,K,E,C)_cyc => \(\widehat{ACK}=\widehat{APM}=\widehat{ABM}\)(2)

Lại có \(\Delta\)BFE ~ \(\Delta\)BHA, I và G lần lượt là trung điểm của FE và HA => \(\widehat{HBG}=\widehat{FBI}\)(3)

Từ (1);(2);(3) suy ra \(\widehat{ABM}=\widehat{FBI}\), mà BF trùng BA nên B,I,M thẳng hàng hay BM chia đôi EF.

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

Bạn tham khảo thêm cách này:

Ta có \(\widehat{FGE}+\widehat{FDE}=2\widehat{BAC}+(180^0-2\widehat{BAC})=180^0\)

=> Tứ giác FGED nội tiếp, vì DG là phân giác góc EDF nên \(\Delta\)DFK ~ \(\Delta\)DGE (g.g)

=> \(DK.DG=DE.DF\)

Lại có \(\Delta\)DBF ~ \(\Delta\)DEC (g.g) => \(DE.DF=DB.DC\)

Suy ra \(DK.DG=DB.DC\)=> \(\Delta\)BDK ~ \(\Delta\)GDC (c.g.c) 

=> \(\widehat{DBK}=\widehat{DGC}\). Mà \(\widehat{DGC}\)phụ \(\widehat{GCB}\)nên BK vuông góc GC

Vậy K là trực tâm tam giác BGC.