Question

[Sherry]

Tìm GTLN của \(N=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\) biết a, b >0 thỏa mãn \(a+b=a^2+b^2\)

Answer 1

[Nguyễn Hưng Phát]

Ta có:\(a+b=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow2\ge a+b\)

\(N=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}=2-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}\le2-\frac{4}{a+1+b+1}\)

\(=2-\frac{4}{a+b+2}\le2-\frac{4}{2+2}=1\)

Nên GTLN của N là 1 đạt được khi \(a=b\Rightarrow2a=2a^2\Rightarrow2a\left(a-1\right)=0\Rightarrow a=1\)