Chứng minh rằng nễu x-y+z=0 thì xy+yz-xz\(\ge\)0
Help me please !!!!!!!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
8 tháng 12 2019
Ta có
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 (xy+yz+zx )
<=>x^2+y^2+z^2=0
<=>x=y=z=0
HH
2
LH
22 tháng 4 2018
Ta có: \(x-y+z=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y+z\right)^2=0
\)
\(\Rightarrow\left(x-y+z\right).\left(x-y+z\right)=0\)
\(\Rightarrow x\left(x-y+z\right)-y\left(x-y+z\right)+z\left(x-y+z\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2-xy+xz-xy+y^2-yz+xz-yz+z^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+xy+yz+yz-xz-xz\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2xy+2yz-2xz\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=2\left(xy+yz-xz\right)\)
Mà: \(x^2+y^2-z^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz-xz\right)\ge0\)
\(\Rightarrow xy+yz-xz\ge0\)(đpcm)
Vậy: \(xy+yz-xz\ge0\)
VL
2
27 tháng 8 2018
Vì x;y;z >0
Nên áp dụng BĐT Cô-Si ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\Rightarrow\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\Rightarrow\frac{x+z}{2}\ge\sqrt{xz}\)
CỘng vế theo vế ta được: \(\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=\frac{2x+2y+2z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
P/s: sai sót xin bỏ qua cho
TN
27 tháng 8 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
x+y\(\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\)
Từ đó suy ra
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
NM
1
TN
26 tháng 2 2018
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\ge\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{x+z+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+xz+x}+\frac{3y^2}{xy+yz+y}+\frac{3z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
6 tháng 2 2018
\(VT=\dfrac{3}{xy+yz+xz}+\dfrac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\dfrac{8}{4\left(xy+yz+xz\right)}+\dfrac{4}{4\left(xy+yz+xz\right)}+\dfrac{4}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(\ge\dfrac{8}{4\cdot\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}+\dfrac{\left(2+2\right)^2}{2\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\dfrac{8}{4\cdot\dfrac{1^2}{3}}+\dfrac{\left(2+2\right)^2}{2\cdot1^2}=14\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
7 tháng 3 2021
Dễ dàng chứng minh được:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)
Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)
Chứng mih tương tự, ta được;
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)
Từ (3), (4), (5), ta được:
\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
7 tháng 3 2021
Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:
\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)
Từ (2) và (6), ta được:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)
29 tháng 11 2016
Học vi-et phương trình bậc 3 chưa bạn. Nếu học rồi thì áp dụng vô là tìm được nghiệm nhé