Chứng minh rằng nếu x-y+z=0 thì xy+yz+xz\(\ge\)
Giúp với!!!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
LH
0
VL
2
27 tháng 8 2018
Vì x;y;z >0
Nên áp dụng BĐT Cô-Si ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\Rightarrow\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\Rightarrow\frac{x+z}{2}\ge\sqrt{xz}\)
CỘng vế theo vế ta được: \(\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=\frac{2x+2y+2z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
P/s: sai sót xin bỏ qua cho
TN
27 tháng 8 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
x+y\(\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\)
Từ đó suy ra
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
WR
9 tháng 7 2017
áp dụng bđt cauchy:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}.\)
Tượng tự \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}},\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}.\)
=>2VT>=2Vp
<=>VT>=VP
dấu = xảy ra khi x=y=z
TN
9 tháng 7 2017
By AM-GM we have:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}\)
Cộng theo vế rồi rút gọn là có ĐPCM
Xảy ra khi x=y=z
C
1
31 tháng 10 2021
Đề lạ thế bạn ơi! Vế trái luôn không âm mà vế phải luôn không dương nên đây là điều hiển nhiên.
Mình nghĩ đề phải chứng minh thế này:
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
Nếu thế thì cách làm như sau:
Ta có: Do x, y, z không âm nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2\sqrt{xy}\ge0\\y+z-2\sqrt{yz}\ge0\\z+x-2\sqrt{xz}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}\Leftrightarrow x=y=z\)
\(\ge\)0 nhá
Ta có: \(x-y+z=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y+z\right)^2=0 \)
\(\Rightarrow\left(x-y+z\right).\left(x-y+z\right)=0\)
\(\Rightarrow x\left(x-y+z\right)-y\left(x-y+z\right)+z\left(x-y+z\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2-xy+xz-xy+y^2-yz+xz-yz+z^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+xy+yz+yz-xz-xz\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2xy+2yz-2xz\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=2\left(xy+yz-xz\right)\)
Mà: \(x^2+y^2-z^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz-xz\right)\ge0\)
\(\Rightarrow xy+yz-xz\ge0\)(đpcm)
Vậy: \(xy+yz-xz\ge0\)