Cho a,b>0, chứng minh rằng ab+ba lớn hơn hoặc bằng 2.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
VH
15 tháng 7 2019
1) Đề sai, thử với x = -2 là thấy không thỏa mãn.
Giả sử cho rằng với đề là x không âm thì áp dụng BĐT Cauchy:
\(A=\)\(\frac{2x}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}=\frac{x-3}{3}+\frac{x-3}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}+2\)
\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x-3\right).\left(x-3\right).9}{3.3.\left(x-3\right)^2}}+2=3+2=5>1\)
Không thể xảy ra dấu đẳng thức.
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
30 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(a^2+b^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
30 tháng 3 2021
úi xin lỗi bài kia thiếu ._. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2 nhé
2. Ta có : a3 + b3 + ab = ( a + b )( a2 - ab + b2 ) + ab
= a2 - ab + b2 + ac = a2 + b2 ( do a+b=1 )
Sử dụng kết quả ở bài trước ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2
LQ
0
AT
1
26 tháng 7 2019
\(\frac{\left(2-c\right)\left(b-c\right)}{2a+bc}=\frac{\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}=\frac{b-c}{c+a}=\frac{b}{c+a}-\frac{c}{c+a}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{\left(2-a\right)\left(c-a\right)}{2b+ca}=\frac{c}{a+b}-\frac{a}{a+b};\frac{\left(2-b\right)\left(a-b\right)}{2c+ab}=\frac{a}{b+c}-\frac{b}{b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(VT=\left(\frac{a}{b+c}-\frac{a}{a+b}\right)+\left(\frac{b}{c+a}-\frac{b}{b+c}\right)+\left(\frac{c}{a+b}-\frac{c}{c+a}\right)\)
\(=\frac{a\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{b\left(b-a\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{c\left(c-b\right)}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a\left(a-c\right)\left(c+a\right)+b\left(b-a\right)\left(a+b\right)+c\left(c-b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{2}{3}\)
cái bđt \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\) cô Chi có làm r ib mk gửi link
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 10
Lời giải:
Xét hiệu $\frac{a^3}{b}-(a^2+ab-b^2)=\frac{a^3+b^3-a^2b-ab^2}{b}$
$=\frac{(a^3-a^2b)-(ab^2-b^3)}{b}=\frac{(a-b)^2(a+b)}{b}\geq 0$ với mọi $a,b>0$
$\Rightarrow \frac{a^3}{b}\geq a^2+ab-b^2$
HH
1
22 tháng 6 2021
Để \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
<=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\ge0\)
<=> \(\dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\)
<=> \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\dfrac{a}{b}>0\) <=> ab > 0
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
\(ab+ba\)
\(=ab.ab\)
\(=2ab\)
Vì a.b>0
\(\Rightarrow ab\ge1\Rightarrow2ab\ge2\)
Vậy..............
k mk nha
Cho a = 0,1, b = 0,2 thì ab + ba = 0,02 + 0,02 = 0,04 < 2
ĐỀ SAI