Cho a, b, c > 0 . Chứng minh :a) $\frac{\text{a}}{b}$ $\frac{b}{\text{a}}$>= 2 .b) $\frac{\text{a}^2}{b}$ $\frac{b^2}{c}$ $\frac{c^2}{\text{a}}$>= a b c .c) $\frac{1}{\text{a}}$ ...

CB

cute's baby's

26 tháng 3 2018 - olm

Cho a, b, c > 0 . Chứng minh :a) $\frac{\text{a}}{b}$+ $\frac{b}{\text{a}}$>= 2 .b) $\frac{\text{a}^2}{b}$+ $\frac{b^2}{c}$+ $\frac{c^2}{\text{a}}$>= a + b + c .c) $\frac{1}{\text{a}}$+ $\frac{1}{b}$>= $\frac{4}{\text{a}+b}$d) $\frac{1}{\text{a}+3b}$+ $\frac{1}{b+3c}$+ $\frac{1}{c+3\text{a}}$>= $\frac{1}{\text{a}+2b+c}$+$\frac{1}{b+2c+\text{a}}$+ $\frac{1}{c+2\text{a}+b}$. Các bạn làm được phần nào thì giúp...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

LN

Lê Nhật Phương

26 tháng 3 2018

a) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2$

$\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)}{ab}\ge2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0$(*) (luôn đúng)

=> ĐPCM.

c) áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương a và b , ta có:

$a+b\ge2\sqrt{ab}\text{ va }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}$

$\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4$

$\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}$

dấu "=" xảy ra khi <=> a = b.

P/s: bn tự làm nốt câu b) d) đi nha!

Đúng(0)

W

꧁WღX༺

7 tháng 4 2019 - olm

Cho C=$\text{}\text{}\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\left(a>0,b>0,c>0\right)$và D=$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2017^2}$

Chứng minh C>D

#Toán lớp 7

1

PV

Pham Van Hung

7 tháng 4 2019

$C=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

$>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1$

$D< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2016.2017}$

$\Rightarrow D< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$

$\Rightarrow D< 1-\frac{1}{2017}< 1$

Vậy C > D

Đúng(0)

DT

Dương Thanh Ngân

29 tháng 6 2019

Cho a+b+c=0
Tính GTBT:$B=\frac{\text{a}b}{\text{a}^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-\text{a}^2}+\frac{c\text{a}}{c^2+\text{a}^2-b^2}$

#Toán lớp 8

1

TT

Trần Thanh Phương

29 tháng 6 2019

$B=\Sigma\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}$

$B=\frac{ab}{a^2+\left(b-c\right)\left(b+c\right)}+\frac{bc}{b^2+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}+\frac{ac}{c^2+\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$

$B=\frac{ab}{a^2-a\left(b-c\right)}+\frac{bc}{b^2-b\left(c-a\right)}+\frac{ac}{c^2-c\left(a-b\right)}$

$B=\frac{ab}{a\left(a-b+c\right)}+\frac{bc}{b\left(b-c+a\right)}+\frac{ac}{c\left(c-a+b\right)}$

$B=\frac{b}{a+b+c-2b}+\frac{c}{a+b+c-2c}+\frac{a}{a+b+c-2a}$

$B=\frac{-b}{2b}+\frac{-c}{2c}+\frac{-a}{2a}$

$B=\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}$

$B=\frac{-3}{2}$

Đúng(0)

PN

Phước Nhanh Nguyễn

19 tháng 5 2015 - olm

Cho a+b+c=0 va a,b,c≠0. Chứng minh đẳng thức:

$\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}$=$\text{|}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\text{|}$

#Toán lớp 9

1

HL

Hoàng Lâm Vũ

19 tháng 5 2015

Ta bình phương cả 2 vế của phương trình rồi giải: √(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)^2 = (1/a + 1/b + 1/c)^2 <=> 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 = 1/a^2 + 1/ b^2 + 1/c^2 + 2/ab + 2/ac + 2/bc . Gpt vế phải a có : 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2/ab + 2/ac + 2/bc = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2(a+b+c)/abc . Theo đề bài có a+b+c=0 thay vào biểu thức trên ta suy ra được điều phải chứng minh

Đúng(0)

CB

Cô bé hạnh phúc

28 tháng 2 2018 - olm

Cho các số thực không âm a,b,ca,b,c thoả mãn a+b+c=1a+b+c=1. Chứng minh rằng :

$\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le\sqrt{3}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\text{| }a-b\text{| }\right)+\text{| }b-c\text{| }+\text{| }c-a\text{| }.$

#Toán lớp 8

0

NT

Nguyễn Thùy Duyên

1 tháng 7 2019 - olm

Cho a+b+c=0
Tính GTBT:B=$\frac{\text{ab}}{\text{a}^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-\text{a}^2}+\frac{c\text{a}}{c^2+\text{a}^2-b^2}$

#Toán lớp 8

1

GL

ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★

1 tháng 7 2019

Ta có a+b+c=0

<=> a+b=-c <=>a²+b²-c²=-2ab

b+c=-a <=> b²+c²-a²=-2bc

c+a=-b <=> c²+a²-b²=-2ca

Thay vào biểu thức ta có

$B=\frac{ab}{-2ab}-\frac{bc}{2bc}-\frac{ca}{2ca}=\frac{-3}{2}$

Đúng(0)

TN

Tuna Ngô

29 tháng 3 2022

Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $latex a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{\text{2}\left( {{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{3}\ge 5$

#Toán lớp 8

1

TN

Tuna Ngô

29 tháng 3 2022

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 5$

Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

$latex \displaystyle \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 2{{a}^{2}}+6a+3 \right)}{3{{a}^{2}}}\ge 0$

Hiển nhiên đúng với a là số thực dương.

Áp dụng tương tự ta được $latex \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2b}{3};\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2c}{3}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 7-\frac{2\left( a+b+c \right)}{3}=5$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $latex a=b=c=1$.

Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toán sau này của chúng ta.

Bài toán trên các biến trong cả hai vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơn giản hơn nếu có thể. Nhưng rõ ràng chỉ từng đó thôi là không đủ. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức sau

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}\ge 0$

Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với a thực dương.

Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện .

Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+ma+n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Trong đó m và n là các hệ số chưa xác định.

Thiết lập tương tự với các biến b và c ta được

$latex \displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mb+n;\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mc+n$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}}{3}\ge 5+m\left( a+b+c \right)+3n=5+3\left( m+n \right)$

Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện $latex \displaystyle m+n=0\Leftrightarrow n=-m$. Thế vào (1) dẫn đến

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left( a-1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức (2) là đúng. Chú ý đẳng thức xẩy ra tại $latex a=b=c=1$ nên ta cần xác định m sao cho

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left( a-1 \right)\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( \frac{\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}-m \right)\ge 0$

Khi cho $latex a=1$ thì ta có $latex \displaystyle \frac{\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}=-\frac{2}{3}$ từ đó ta dự đoán rằng $latex \displaystyle m=-\frac{2}{3}$ để tạo thành đại lượng bình phương $latex {{\left( a-1 \right)}^{2}}$ trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$

Đúng(2)

TC

TV Cuber

29 tháng 3 2022

trời ơi ? hack

Đúng(0)

HV

huynh van duong

26 tháng 10 2021 - olm

Cho 3 sô dương a,b,c . Chứng mình rằng

$\sqrt[3]{\frac{\left(a\text{+}b\right)\left(b\text{+}c\right)\left(c\text{+}a\right)}{abc}}\ge\frac{4}{3}\left(\frac{a^2}{a^2\text{+}bc}\frac{b^2}{b^2\text{+}ab}\frac{c^2}{c^2\text{+}ac}\right)$

Mấy bạn giúp mình câu này với ;-;

#Toán lớp 10

0

NT

Nguyễn Thu Mến

27 tháng 12 2016 - olm

Trong tam giác ABC.Chứng minh rằng:

$\frac{b^2-c^2}{c\text{os}B+c\text{os}C}$+$\frac{c^2-a^2}{c\text{os}C+c\text{os}A}$+$\frac{a^2-b^2}{c\text{os}A+c\text{os}B}$=0

#Toán lớp 9

2

NV

Nguyễn Văn Khoa

27 tháng 12 2016

Khó dữ vậy trời

Đúng(0)

NQ

Nguyển Quốc

27 tháng 12 2016

bài này khó quá chắc mình không giải được rồi

Đúng(0)

NH

Nguyễn Hữu Tuyên

10 tháng 1 2017

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\text{ ≤ }\frac{a+b+c}{2abc}$

#Toán lớp 8

1

LF

Lightning Farron

10 tháng 1 2017

Ta có: $a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}$$\Rightarrow\frac{1}{a^2+bc}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}$

Tương tự ta có:

$\frac{1}{b^2+ac}\le\frac{1}{2b\sqrt{ac}};\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2c\sqrt{ab}}$

Cộng theo vế ta có:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{\sqrt{bc}}{2abc}+\frac{\sqrt{ac}}{2abc}+\frac{\sqrt{ab}}{2abc}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}{2abc}\le\frac{a+b+c}{2abc}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP