Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a+b}{bc+a^2}-\frac{b+c}{ac+b^2}-\frac{c+a}{ab+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-b^4c^2a^2-c^4a^2b^2}{abc\left(bc+a^2\right)\left(ac+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a^4b^4+2b^4c^4+2c^4a^4-2a^4b^2c^2-2b^4c^2a^2-2c^4a^2b^2}{2abc\left(bc+a^2\right)\left(ca+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2b^2-b^2c^2\right)^2+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)^2+\left(c^2a^2-a^2b^2\right)^2}{2abc\left(bc+a^2\right)\left(ac+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)(Đúng) (do a, b, c>0 )
bạn ơi mik chỉ làm ngếu ngáo thôi nhé :)) đúng thì đúng mà sai thì thôi nhé :)) cách mình tự chế nhé
đặt \(\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}=Pain\)
áp dụng định lí six paths of Pain :) ta có
\(\frac{\left(a+b\right)}{a^2+bc}=\frac{\left(a+b\right)}{\frac{\left(a+b\right)}{\left(a+c\right)}}=\frac{1}{\left(a+c\right)}\) ( định lí Six Paths of Pain ) hì hì
thay vào ta được :)
\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
áp dụng cô si sáp cho 2 số ta có
\(\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\) luôn đúng
\(\frac{1}{b+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\) luôn đúng
\(\frac{1}{c+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right)\) luôn đúng
cộng các vế lại ta được và rút 2/2 ta được :))
\(Pain\le\frac{1}{2}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)=\frac{2}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
hình như BDT đã được chứng minh :))
theo bài của bạn Phạm quốc cường ta có :))
\(\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) luôn đúng :))
tức là \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}=\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)luôn đúng :))
tức là định Lí six paths of Pain luôn đúng :))
dấu = xảy ra khi nào thì mình éo biết được :))
: các thành phần trẩu tre éo làm thì đừng tích sai cho mình nhé :)) mik ms lớp 7 thôi còn gà lắm :))
"Chấm" nhẹ hóng cao nhân ạ :)
P/s: mong các bác giải theo cách lớp 8 ạ :) Tặng 5SP / 1 câu nhé ;)
\(\frac{1}{1-ab}=1+\frac{ab}{1-ab}\le1+\frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}=1+\frac{2ab}{2-a^2-b^2}=1+\frac{2ab}{2c^2+a^2+b^2}\)
\(=1+\frac{2ab}{\left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}\le1+\frac{ab}{\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}=1+\sqrt{\frac{a^2b^2}{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}\)
\(\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có:
\(\begin{aligned} \frac{1}{1-ab}&=1+\frac{ab}{1-ab} \le 1+\frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}=1+\frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2} \\ &=1+\frac{2ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\le 1+\frac{ab}{\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\\& \le 1+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right). \text{ }(1)\end{aligned}\)
Tương tự \(\frac{1}{1-bc}\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)\left(2\right)\)
\(\frac{1}{1-ca}\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)\left(3\right)\)
\(\Rightarrow VT\le3+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2}\right)=\frac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
theo bất đẳng thức côsi ta có :
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
1) Theo bđt AM-GM,ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm
Ta có: \(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+bc}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{b^2+ac}\le\frac{1}{2b\sqrt{ac}};\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
Cộng theo vế ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{\sqrt{bc}}{2abc}+\frac{\sqrt{ac}}{2abc}+\frac{\sqrt{ab}}{2abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}{2abc}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)