\(\text{Tìm các cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn:}\)
\(5^{2p}+2013=5^{2p^2}+q^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HV
2
11 tháng 2 2019
Bổ đề : Số chính phương chia 5 chỉ dư 1 và 4 (bạn tự CM)
Ta dễ dàng thấy 5^2p + 2013 chia 5 dư 3 (vế trái chia 5 dư 3) (1)
Từ bổ đề ta có q^2 chia 5 dư 1 hoặc 4 mà 5^2p^2 chia hết cho 5 nên vế phải chia 5 dư 1 hoặc 4 (2)
Từ (1) và (2), ta thấy sự mâu thuẫn
Vậy không có p q nguyên tố thoả mãn đề bài
k nhé
13 tháng 2 2020
Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé
NT
1
13 tháng 2 2020
Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé
F
1
KN
11 tháng 2 2020
Ta chứng minh a2 với a nguyên chia 5 chỉ có số dư là 0;1;4
Thật vậy: a là số nguyên nên a có 5 dạng
+) Nếu a = 5k thì \(a^2=\left(5k\right)^2=25k^2⋮5\)(dư 0)
+) Nếu a = 5k + 1 thì \(a^2=\left(5k+1\right)^2=25k^2+10k+1\)(chia 5 dư 1)
+) Nếu a = 5k + 2 thì \(a^2=\left(5k+2\right)^2=25k^2+20k+4\)(chia 5 dư 4)
+) Nếu a = 5k + 3 thì \(a^2=\left(5k+3\right)^2=25k^2+30k+9\)(chia 5 dư 4)
+) Nếu a = 5k + 4 thì \(a^2=\left(5k+4\right)^2=25k^2+40k+16\)(chia 5 dư 1)
Vậy ta đã có đpcm.
Áp dụng vào bài toán: \(q^2\)chia 5 chỉ có thể dư 0;1 hoặc 4
Lại có: \(5^{2p^2}\)chia hết cho 5 nên \(5^{2p^2}+q^2\)chia 5 dư 0;1 hoặc 4
Ta có: \(5^{2p}⋮5\)và 2013 chia 5 dư 3 nên \(5^{2p}+2013\)chia 5 dư 3
Vế trái chia 5 dư 3 , vế phải chia 5 dư 0;1 hoặc 4 nên không có cặp số nguyên tố (p;q) thỏa mãn bài toán
Z
1
14 tháng 3 2020
Ta có : \(5^{2p}+2013=5^{2p^2}+q^2\)
\(\iff\) \(2013-q^2=25^{p^2}-25^p\)
\(\iff\) \(2013-q^2=25^p.\left(25^{p^2-p}-1\right)\)
Vì \(p\) là số nguyên tố nên suy ra :\(2013-q^2\) chia hết cho \(25^2\) và \(2013-q^2>0\) nên suy ra : \(q^2< 2013\)
\(\iff\) \(q< \sqrt{2013}< \sqrt{2025}=45\)
\(\iff\) \(q< 45\)
Ta có : \(2013-q^2\) chia hết cho \(25^2\)
\(\iff\) \(3.625+138-q^2\) chia hết cho \(25^2\)
\(\iff\) \(138-q^2\) chia hết cho \(25^2\)
Mà \(138-q^2\) \( \leq\) \(138\) không chia hết cho \(25^2\) nên suy ra : Không có giá trị \(q\) nào thỏa mãn
NN
1
13 tháng 2 2020
Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé
H
2
12 tháng 8 2018
Tham khảo đây nè :
Câu hỏi của witch roses - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
học tốt ^^
13 tháng 2 2020
Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé
NT
3
28 tháng 1 2019
Số chính phương chia 5 chỉ dư 1 và 4 (bạn tự CM)
Ta dễ dàng thấy 5^2p + 2013 chia 5 dư 3 \Rightarrow vế trái chia 5 dư 3 (1)
Từ bổ đề ta có q^2 chia 5 dư 1 hoặc 4 mà 5^2p^2 chia hết cho 5 nên vế phải chia 5 dư 1 hoặc 4 (2)
Từ (1) và (2) giải ra ta thấy sự mâu thuẫn
Vậy không có p q nguyên tố thoả mãn đề bài
LN
28 tháng 1 2019
Ta có :
\(5^{2p}=25^p\equiv1\left(mod3\right)\)
\(2013\equiv0\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow5^{2p}+2013\equiv1\left(mod3\right)\)\(\left(1\right)\)
Mà :
\(\left(5^{2p}\right)^2\equiv1\left(mod3\right)\)do \(5^{2p}\equiv1\left(mod3\right)\)
\(q^2\equiv1\left(mod3\right)\)(vì \(q\)là SNT nên \(q\)không chia hết cho 3 và \(q^2\)là số chính phương nên chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc 0)
\(\Rightarrow\left(5^{2p}\right)^2+q^2\equiv2\left(mod3\right)\)\(\left(2\right)\)
Mà : \(5^{2p}+2013=\left(5^{2p}\right)^2+q^2\)\(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\)\(\Rightarrow p\in\varnothing;q\in\varnothing\)
Vậy \(\Rightarrow p\in\varnothing;q\in\varnothing\)
HK
1
13 tháng 2 2020
Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé
Z
0
Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé