Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC . CMR
\(\frac{AB+AC-BC}{2}< AD< \frac{AB+AC+BC}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
S
12 tháng 3 2018
A B C M D
Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:
\(BM=CM\left(gt\right)\)
\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)
\(MA=MD\) (cách vẽ)
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta DCM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AB=CD\)(2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta ACD\) có: \(AD< AC+CD\)
\(\Rightarrow2AM< AC+AB\)
\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta MAB\)có: \(AM>AB-BM\)
Xét \(\Delta MAC\)có: \(AM>AC-MC\)
\(\Rightarrow AM+AM>AB-BM+AC-MC\)
\(\Rightarrow2AM>AB+AC-\left(BM+CM\right)\)
\(\Rightarrow2AM>AB+AC-BC\)
\(\Rightarrow AM>\frac{AB+AC-BC}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{AB+AC-BC}{2}< AM< \frac{AB+AC}{2}\left(đpcm\right)\)
SS
24 tháng 3 2018
+) Trong tam giác ABD, có:
AD - BD < AD < AB + BD ( theo bất đẳng thức của tam giác ) (1)
+) Trong giác ACD, có:
AC - CD < AD < AC + CD ( theo bất đẳng thức của tam giác ) (2)
+) Cộng (1) với (2), ta được:
AB - BD +AC -CD < 2AD < AB + BD + AC + CD
AB + AC - ( BD + CD ) < 2AD < AB + AC+ ( BD + CD )
\(\frac{AB+AC-BC}{2}\) < AD < \(\frac{AB+AC+BC}{2}\) (đpcm)
21 tháng 3 2018
Tam giác ABD có:
AD + BD > AB (Bất đẳng thức tam giác) (1)
AB + BD > AD (Bất đẳng thức tam giác) (2)
Tam giác ACD có:
AD + DC > AC (Bất đẳng thức tam giác) (3)
AC + CD > AD (Bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (1) và (3)
=> AD + BD + AD + DC > AC + AB
2AD + BC > AC + AB
=> AD > (AC + AB - BC)/2 (5)
Từ (2) và (4)
=> AB + BD + AC + CD > AD + AD
AB + AC + BC > 2AD
(AB + AC + BC) > AD (6)
Từ (5) và (6) => ĐPCM
AQ
0
24 tháng 1 2019
1. A B C D E
Chọn điểm D như hình vẽ. Gọi E là giao điểm của AB và DC.
Ta có: \(\widehat{ADE}\)là góc ngoài của tam giác ADC => \(\widehat{ADE}>\widehat{ACD}\)(1)
Tương tự \(\widehat{BDE}>\widehat{BCD}\)(2)
(1), (2) => \(\widehat{ADB}>\widehat{ACB}\)
Mà \(\widehat{ADB}=\widehat{ABD}\)
=> \(\widehat{ABC}>\widehat{ABD}=\widehat{ADB}>\widehat{ACB}\)
=> AC>AB
T
27 tháng 1 2019
A B C H
Xét tam giác ABC vuông tại A
Theo BĐT tam giác: \(AB< AC+BC\)
Và tam giác AHC vuông tại H có: \(AC< AH+CH\) (1)
\(\Rightarrow AB+AC< \left(AH+BC\right)+\left(AC+CH\right)\)
Hay \(AB+AC< \left(AH+CH+BH\right)+\left(AC+CH\right)\)
Hay \(AB+AC< AH+2CH+BH+AC\)
Bớt AC ở cả hai vế: \(AB< AH+2CH+BH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB+AC< 2AH+2CH+BH+CH\)
Hay \(AB+AC< 2AH+2CH+BC\)
Tới đây bí rồi.
NV
1
DT
21 tháng 4 2019
A B C O I
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
\(\Delta OAB:\)\(AB< OA+OB\)
\(\Delta OAC:\)\(AC< OA+OC\)
\(\Delta OBC:\)\(BC< OB+OC\)
\(\Rightarrow AB+BC+AC< 2\left(OA+OB+OC\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{AB+BC+AC}{2}< OA+OB+OC\)(1)
Gọi I là giao điểm của BO và AC
\(\Delta OAI:-OA< AI+OI\)
\(\Delta IBC:-IB< IC+BC\)
\(\Rightarrow OA+IB< AI+OI+IC+BC=AC+BC+OI\)
\(\Leftrightarrow OA+IB-OI< AC+BC\)
\(\Leftrightarrow OA+OB< AC+BC\)(OI+OB=IB)
Chứng minh tương tự ta có \(OA+OC< AB+BC;OB+OC< AB+AC\)
\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC\right)< 2\left(AB+BC+AC\right)\)(CỘNG 2 VẾ CỦA 3 BẤT ĐẢNG THỨC TRÊN)
\(\Leftrightarrow OA+OB+OC< AB+BC+AC\)(2)
Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh.
Ta có: \(\Delta ABM\)
=> AB + BM > AD ( BĐT tam giác) (1)
Ta có :\(\Delta AMC\)
=> AC + CM > AD ( BĐT tam giác) (2)
Từ 1;2 => AB + BM + AC + CM > 2AD
=> AB + AC +BC > 2AD
=> \(AB + AC + BC \over 2 \)> AD (*)
Ta có: \(\Delta ABM\)
=> AB - BM < AD ( hệ quả BĐT tam giác) (3)
Ta có :\(\Delta AMC\)
=> AC - CM < AD ( hệ quả BĐT tam giác) (4)
Từ 3;4 => AB - BM + AC - CM < 2AD
=> AB + AC - BC < 2AD
=> \(AB + AC - BC \over 2 \)< AD (**)
Từ *;** => \(AB + AC - BC \over 2\) < AD < \(AB + AC + BC \over 2 \)
xét tam giác ABM có:
AB+BM>AD (1)
xét tam giác AMB có:
AC+CM>AD (2)
từ (1) và (2) ta có: AB+BM+AC+CM>2AD
=>AB+AC+BC=2AD
\(\Rightarrow\frac{AB+AC+BC}{2}>AD.\)
chứng minh gần tương tự ta được \(\frac{AB+AC-BC}{2}< AD.\)
suy ra đpcm