Question

[Trần Minh Đạt]

 Cho đường tròn (O;R) có đường kính BC. Gọi A là điểm nằm trên đường tròn sao cho AB > AC. Trên tia AC lấy điểm P sao cho AP = AB. Đường thẳng vuông góc hạ từ P xuống BC cắt BA ở D và cắt BC ở H.

a. Chứng minh tứ giác ACHD nội tiếp.

b. Chứng minh  PC.PA = PH.PD.

c. PB cắt (O) tại I. Chứng minh các điểm I, C, D thẳng hàng

d. Cho ABC = 30⁰, hãy tính diện tích của hình tròn ngoại tiếp tứ giác ACHD theo R.  

Answer 1

[Trần Minh Đạt]

a)

Ta có:  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)       = 900  (Do kề bù với  )       Theo gt  nên   = 900               Tứ giác ACHD có   +    =                                               Nên Tứ giác ACHD nội tiếp được đường tròn đường kính CD .

Xét hai tam giác vuông  và   Có  và  chung                          nên suy ra

Tam giác BPD có BH, PA là các đường cao cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác                                          Mặt khác:   = 900  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)        Qua một điểm  ngoài đường thẳng ta chỉ kẻ được một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. Do đó  từ (1) và (2) . Vậy D, C, I cùng nằm trên 1 đường thẳng.

* Xét tam giác ACD có: AB = AP (gt),  = 900 nên DBAP vuông cân tại A.     = 450    = 450  hay  = 450 (cùng phụ  = 450)        *  DABC vuông tại A  có   = 300 (gt) Nên AC = BC.sin300 = 2R .0,5 = R                                          *DACD vuông tại A có  = 450  Nên                           * Tứ giác ACHD nội tiếp đường trên đường  kính CD Diện tích của hình tròn ngoại tiếp tứ giác ACHD là:   (đvdt)

Answer 2

[Trần Minh Đạt]

a)

Ta có:  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)       = 900  (Do kề bù với  )       Theo gt  nên   = 900               Tứ giác ACHD có   +    =                                               Nên Tứ giác ACHD nội tiếp được đường tròn đường kính CD .

Xét hai tam giác vuông  và   Có  và  chung                          nên suy ra

Tam giác BPD có BH, PA là các đường cao cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác                                          Mặt khác:   = 900  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)        Qua một điểm  ngoài đường thẳng ta chỉ kẻ được một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. Do đó  từ (1) và (2) . Vậy D, C, I cùng nằm trên 1 đường thẳng.

* Xét tam giác ACD có: AB = AP (gt),  = 900 nên DBAP vuông cân tại A.     = 450    = 450  hay  = 450 (cùng phụ  = 450)        *  DABC vuông tại A  có   = 300 (gt) Nên AC = BC.sin300 = 2R .0,5 = R                                          *DACD vuông tại A có  = 450  Nên                           * Tứ giác ACHD nội tiếp đường trên đường  kính CD Diện tích của hình tròn ngoại tiếp tứ giác ACHD là:   (đvdt)